Ta có \(\displaystyle S = {1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + {1 \over {{2^3}}} + ... + {1 \over {{2^{20}}}} < 1\)
Nên \(\displaystyle 2S = 1 + {1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + ... + {1 \over {{2^{19}}}}\)
Do đó \(\displaystyle 2{\rm{S}} - S = 1 - {1 \over {{2^{20}}}}\). Vậy \(\displaystyle S = 1 - {1 \over {{2^{20}}}} < 1.\)
Bài III.6
Có bao nhiêu cách viết phân số \(\displaystyle {1 \over 5}\) dưới dạng tổng của hai phân số \(\displaystyle {1 \over a} + {1 \over b}\) với \(0 < a < b\) ?
Vì \(\displaystyle {1 \over a} + {1 \over b} = {1 \over 5}\) nên \(\displaystyle {1 \over a} < {1 \over 5}\), suy ra \(a > 5.\) \((1)\)
Ta lại có \(0 < a < b\) nên \(\displaystyle {1 \over a} > {1 \over b}\). Do đó \(\displaystyle {1 \over a} + {1 \over a} > {1 \over a} + {1 \over b}\)
hay \(\displaystyle {2 \over a} > {1 \over 5} = {2 \over {10}}\), suy ra \(a < 10.\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) ta có \(\displaystyle a \in \left\{ {6;7;8;9} \right\}.\)
Nếu \(a = 6\) thì \(\displaystyle {1 \over b} = {1 \over 5} - {1 \over 6} = {1 \over {30}}\) nên \(b = 30\)
Nếu \(a = 7\) thì \(\displaystyle {1 \over b} = {1 \over 5} - {1 \over 7} = {2 \over {35}}\) suy ra \(b = 17,5\) (loại)
Nếu \(a = 8\) thì \(\displaystyle {1 \over b} = {1 \over 5} - {1 \over 8} = {3 \over {40}}\) suy ra \(\displaystyle b \approx 13,3\) (loại)
Nếu \(a = 9\) thì \(\displaystyle {1 \over b} = {1 \over 5} - {1 \over 9} = {4 \over {45}}\) suy ra \(b = 11,25\) (loại)
Vậy chỉ có một cách viết là \(\displaystyle {1 \over 5} = {1 \over 6} + {1 \over {30}}.\)
Bài III.7
Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho tỉ số giữa số đó với tổng các chữ số của nó là lớn nhất.
Đặt \(\displaystyle k = {{\overline {ab} } \over {a + b}}\)
Ta có \(\displaystyle k = {{10{\rm{a}} + b} \over {a + b}} \le {{10{\rm{a}} + 10b} \over {a + b}} = 10\)
\(\displaystyle k = 10 \Leftrightarrow b = 10b \Leftrightarrow b = 0\)
Như vậy \(k\) lớn nhất bằng \(10\) ứng với các số \(10\,;\; 20\,;\; 30\,;\; …\,;\; 90.\)
Bài III.8
Có thể tìm được hai chữ số \(a\) và \(b\) sao cho phân số \(\displaystyle {a \over b}\) bằng số thập phân \(a, b\) hay không ?
Giả sử ta tìm được hai chữ số \(a\) và \(b\) sao cho \(\displaystyle {a \over b} = a,b\)
Rõ ràng ta có \(a,b > a\) (vì \(b \ne 0\)) \((1)\)
Ta lại có \(\displaystyle {a \over b} = a.{1 \over b}\) mà \(\displaystyle {1 \over b} \le 1\) nên \(\displaystyle a.{1 \over b} \le a\)
Hay \(\displaystyle {a \over b} \le a.\) \((2)\)
Vậy \(\displaystyle {a \over b} < a,b\) nghĩa là không tìm được hai chữ số \(a\) và \(b\) thỏa mãn đề bài.
Phương pháp giải - Nhân tổng \(S\) đã cho với \(2\).
- Lấy \(2S\) vừa tìm được ở trên trừ đi \(S\) ban đầu, từ đó tìm được tổng \(S.\)
Lập luận để có các sí \(a,b\) thỏa mãn đề bài.
Sử dụng: \(\overline {ab} = 10a + b\) từ đó đánh giá để có phân số lớn nhất.
Cùng so sánh hai số \(\dfrac{a}{b};a,b\) với \(a\)
