Bài 3.50 trang 134 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, hãy chọn dãy số giảm

(A)    \({u_n} = \sin n\) ;

(B)   \({u_n} = \dfrac{{{n^2} + 1}}{n}\) ;

(C)   \({u_n} = \sqrt n  - \sqrt {n - 1} \) ;

(D)   \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {{2^n} + 1} \right).\)

Xét đáp án C ta có:

\(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)  \( = \dfrac{{\sqrt {n + 1}  - \sqrt n }}{{\sqrt n  - \sqrt {n - 1} }}\) \( = \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}.\dfrac{{\sqrt n  + \sqrt {n - 1} }}{1}\) \( = \dfrac{{\sqrt n  + \sqrt {n - 1} }}{{\sqrt n  + \sqrt {n + 1} }} < 1\) vì \(\sqrt {n - 1}  < \sqrt {n + 1} \)

Do đó \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) hay dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Đáp án: C.