Nhân phương trình thứ nhất của hệ với m + 2, nhân phương trình thứ hai với 2 ta được hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}2(m + 2)x + (3m + 1)(m + 2)y = (m - 1)(m + 2)\\2(m + 2)x + 2(4m + 3)y = 2m\end{array} \right.\)
Trừ hai phương trình vế theo vế ta được phương trình:
\((3{m^2} - m - 4)y = (m + 1)(m - 2)\) (1)
+Với \(m = - 1\) phương trình (1) có dạng:
\(0y = 0\)
Phương trình này nhận mọi giá trị thức của y làm nghiệm. Lúc đó thay \(m = - 1\)vào hệ phương trình đã cho, hai phương trình trở thành một phương trình.
\(x - y = - 1\)\( \Leftrightarrow y = x + 1\), \(x\) tùy ý.
+Với \(m = \dfrac{4}{3}\) phương trình (1) có dạng.
\(0y = - \dfrac{{14}}{9}\).
Phương trình này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
+Với \(m \ne - 1\)và \(m \ne \dfrac{4}{3}\), phương trình (1) có nghiệm duy nhất
\(y = \dfrac{{m - 2}}{{3m - 4}}\)
Thay vào một trong hai phương trình của hệ đã cho ta suy ra
\(x = \dfrac{{ - m + 3}}{{3m - 4}}\).
Kết luận
\(m = \dfrac{4}{3}\): Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
\(m = - 1\): Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm
\(x = a,y = a + 1\), a là số thực tùy ý.
\(m \ne - 1\),\(m \ne \dfrac{4}{3}\): Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất :
\(m \ne - 1\)và \((x;y) = (\dfrac{{3 - m}}{{3m - 4}};\dfrac{{m - 2}}{{3m - 4}})\)
