Bài 3.54 trang 183 SBT giải tích 12

Nhờ ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + x} \right)dx}  > \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{e - 1}}dx} \)

B. \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}xdx}  < \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} \)

C. \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx}  > \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right)}^2}dx} \)

D. \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}dx}  > \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^3}}}dx} \)

Đáp án A:

Xét \(\displaystyle  I = \int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + x} \right)dx}  - \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{e - 1}}dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\left( {\ln \left( {1 + x} \right) - \frac{{x - 1}}{{e - 1}}} \right)dx} \)

Dễ thấy trong \(\displaystyle  \left[ {0;1} \right]\) thì:

\(\displaystyle  \ln \left( {x + 1} \right) \ge 0 \ge \frac{{x - 1}}{{e - 1}}\)\(\displaystyle   \Rightarrow \ln \left( {x + 1} \right) - \frac{{x - 1}}{{e - 1}} \ge 0\)\(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left( {\ln \left( {1 + x} \right) - \frac{{x - 1}}{{e - 1}}} \right)dx}  > 0\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + x} \right)dx}  - \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{e - 1}}dx}  > 0\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + x} \right)dx}  > \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{e - 1}}dx} \) hay A đúng.

Đáp án B: Xét \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}xdx}  - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} \)\(\displaystyle   = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\sin }^2}x - \sin 2x} \right)dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin x\left( {\sin x - 2\cos x} \right)dx} \)

Trong đoạn \(\displaystyle  \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\) thì \(\displaystyle  0 \le \sin x \le \frac{{\sqrt 2 }}{2} \le \cos x \le 1\) \(\displaystyle   \Rightarrow \sin x - 2\cos x < 0\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \sin x\left( {\sin x - 2\cos x} \right) \le 0\) \(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin x\left( {\sin x - 2\cos x} \right)dx}  < 0\)\(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}xdx}  < \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} \) hay B đúng.

Đáp án D: Xét \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}dx}  - \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^3}}}dx} \)\(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\left( {{e^{ - {x^2}}} - {e^{ - {x^3}}}} \right)dx} \)

Trong đoạn \(\displaystyle  \left[ {0;1} \right]\) thì \(\displaystyle  {x^2} \ge {x^3} \Rightarrow  - {x^2} \le  - {x^3}\) \(\displaystyle   \Rightarrow {e^{ - {x^2}}} \le {e^{ - {x^3}}} \Rightarrow {e^{ - {x^2}}} - {e^{ - {x^3}}} \le 0\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left( {{e^{ - {x^2}}} - {e^{ - {x^3}}}} \right)dx}  < 0\)\(\displaystyle   \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}dx}  < \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^3}}}dx} \) hay D sai.

Chọn D.