Bài 3.57 trang 183 SBT giải tích 12

Khẳng định nào sau đây sai?

A. \(\displaystyle  \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\frac{{\sin x}}{x}dx}  < \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\frac{{\cos x}}{x}dx} \)

B. \(\displaystyle  \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^1 {\frac{{\tan x}}{x}dx}  > \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^1 {\frac{{\cot x}}{x}dx} \)

C. \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^4}xdx}  < \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx} \)

D. \(\displaystyle  \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx}  < \int\limits_1^e {\frac{{{e^x}}}{x}dx} \)

Đáp án A:

Xét \(\displaystyle  I = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\frac{{\sin x}}{x}dx}  - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\frac{{\cos x}}{x}dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\left( {\frac{{\sin x - \cos x}}{x}} \right)dx} \)

Dễ thấy trên đoạn \(\displaystyle  \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right]\) thì \(\displaystyle  x > 0\) và \(\displaystyle  \sin x > 0 > \cos x\) \(\displaystyle   \Rightarrow \sin x - \cos x > 0\)

Suy ra \(\displaystyle  \frac{{\sin x - \cos x}}{x} > 0\) \(\displaystyle   \Rightarrow I = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\left( {\frac{{\sin x - \cos x}}{x}} \right)dx}  > 0\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\frac{{\sin x}}{x}dx}  > \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\frac{{\cos x}}{x}dx} \).

Vậy A sai.

Chọn A.