Bài 3.6 trang 103 SBT hình học 12

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overline {BC} \)

b) \(\overrightarrow {AB}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} \)\)

a) Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} \)

\(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} \)

Do đó: \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \) vì \(\overrightarrow {DC}  =  - \overrightarrow {CD} \)

b) Vì \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB} \) và \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD} \) nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} \)

Do đó: \(2\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CD}  + 2\overrightarrow {DB} \)

Vậy  \(\overrightarrow {AB}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} \)