a) Đặt \(t = 3 - x \Rightarrow dt = - dx\).
Khi đó \(\int {x{{(3 - x)}^5}dx} \) \( = \int {\left( {3 - t} \right).{t^5}.\left( { - dt} \right)} \) \( = \int {\left( { - 3{t^5} + {t^6}} \right)dt} \) \( = - 3.\dfrac{{{t^6}}}{6} + \dfrac{{{t^7}}}{7} + C\) \( = \dfrac{{ - {{\left( {3 - x} \right)}^6}}}{2} + \dfrac{{{{\left( {3 - x} \right)}^7}}}{7} + C\)
b) Ta có: \(\int {{{({2^x} - {3^x})}^2}} dx\)\( = \int {\left( {{2^{2x}} + {3^{2x}} - {{2.2}^x}{{.3}^x}} \right)dx} \) \( = \int {{2^{2x}}dx} + \int {{3^{2x}}dx} - 2\int {{6^x}dx} \) \( = \int {{4^x}dx} + \int {{9^x}dx} - 2.\int {{6^x}dx} \) \( = \dfrac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + \dfrac{{{9^x}}}{{\ln 9}} - 2.\dfrac{{{6^x}}}{{\ln 6}} + C\).
c) Đặt \(t = \sqrt {2 - 5x} \Rightarrow {t^2} = 2 - 5x\) \( \Rightarrow 2tdt = - 5dx \Rightarrow dx = - \dfrac{{2tdt}}{5}\)
Khi đó \(\int {x\sqrt {2 - 5x} dx} \) \( = \int {\dfrac{{2 - {t^2}}}{5}.t.\left( {\dfrac{{ - 2tdt}}{5}} \right)} \) \( = - \dfrac{2}{{25}}\int {\left( {2{t^2} - {t^4}} \right)dt} \) \( = - \dfrac{2}{{25}}\left( {\dfrac{2}{3}{t^3} - \dfrac{{{t^5}}}{5}} \right) + C\)
\( = - \dfrac{4}{{75}}{\left( {\sqrt {2 - 5x} } \right)^3} + \dfrac{2}{{125}}{\left( {\sqrt {2 - 5x} } \right)^5} + C\)
d) Đặt \(u = \ln (\cos x),dv = \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\) và sử dụng công thức nguyên hàm từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).
e) Đặt \(u = x,dv = \dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}\) và sử dụng công thức nguyên hàm từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).
d) Đặt \(u = \ln (\cos x),dv = \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{ - \sin x}}{{\cos x}} = - \tan x\\v = \tan x\end{array} \right.\)
Khi đó \(\int {\dfrac{{\ln (\cos x)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx\)\( = \tan x\ln \left( {\cos x} \right) + \int {{{\tan }^2}xdx} \)
\( = \tan x\ln \left( {\cos x} \right) + \int {\left( {{{\tan }^2}x + 1 - 1} \right)dx} \) \( = \tan x\ln \left( {\cos x} \right) + \int {\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)dx} + \int {dx} \)
\( = \tan x\ln \left( {\cos x} \right) + \tan x - x + C\) \( = \tan x\left[ {\ln \left( {\cos x} \right) + 1} \right] - x + C\)
e) Đặt \(u = x,dv = \dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cot x\end{array} \right.\)
Khi đó \(\int {\dfrac{x}{{{{\sin }^2}x}}} dx\)\( = - x\cot x + \int {\cot xdx} \) \( = - x\cot x + \int {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} \) \( = - x\cot x + \int {\dfrac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{\sin x}}} \)
\( = - x\cot x + \ln \left| {\sin x} \right| + C\)
g) Tách \(\dfrac{{x + 1}}{{(x - 2)(x + 3)}} = \dfrac{3}{{5(x - 2)}} + \dfrac{2}{{5(x + 3)}}\) và tính nguyên hàm theo công thức \(\int {\dfrac{1}{{ax + b}}dx} = \dfrac{{\ln \left| {ax + b} \right|}}{a} + C\).
h) Đổi biến đặt \(t = \sqrt x \).
i) Khai triển \(\sin 3x.\cos 2x = \dfrac{1}{2}\left( {\sin x + \sin 5x} \right)\) và tính nguyên hàm.
g) Ta có \(\dfrac{{x + 1}}{{(x - 2)(x + 3)}} = \dfrac{3}{{5(x - 2)}} + \dfrac{2}{{5(x + 3)}}\)
Khi đó \(\int {\dfrac{{x + 1}}{{(x - 2)(x + 3)}}dx} \)\( = \int {\left( {\dfrac{3}{{5(x - 2)}} + \dfrac{2}{{5(x + 3)}}} \right)dx} \) \( = \dfrac{3}{5}\int {\dfrac{{dx}}{{x - 2}}} + \dfrac{2}{5}\int {\dfrac{{dx}}{{x + 3}}} \)
\( = \dfrac{3}{5}\ln \left| {x - 2} \right| + \dfrac{2}{5}\ln \left| {x + 3} \right| + C\) \( = \dfrac{1}{5}\left[ {\ln {{\left| {x - 2} \right|}^3}{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \right] + C\)
h) Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt\).
Khi đó \(\int {\dfrac{1}{{1 - \sqrt x }}} dx\)\( = \int {\dfrac{1}{{1 - t}}.2tdt} = \int {\left( { - 2 + \dfrac{2}{{1 - t}}} \right)dx} \)
\( = - 2t - 2\ln \left| {1 - t} \right| + C\) \( = - 2\sqrt x - 2\ln \left| {1 - \sqrt x } \right| + C\)
i) Ta có: \(\sin 3x.\cos 2x = \dfrac{1}{2}\left( {\sin x + \sin 5x} \right)\).
Khi đó \(\int {\sin 3x\cos 2xdx} \)\( = \dfrac{1}{2}\int {\left( {\sin x + \sin 5x} \right)dx} \)
\( = \dfrac{1}{2}\left( { - \cos x - \dfrac{{\cos 5x}}{5}} \right) + C\)\( = - \dfrac{1}{2}\left( {\cos x + \dfrac{1}{5}\cos 5x} \right) + C\).
