\(a)\) Trong tam giác \(ADC,\) ta có:
\(E\) là trung điểm của \(AD\;\; (gt)\)
\(I\) là trung điểm của \(AC\;\; (gt)\)
Nên \(EI\) là đường trung bình của \(∆ ABC\)
\(⇒ EI // CD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Và \(EI =\displaystyle {{CD} \over 2}\)
Trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(I\) là trung điểm của \(AC\)
\(F\) là trung điểm của \(BC\)
Nên \(IF\) là đường trung bình của \(∆ ABC\)
\(⇒ IF // AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Và \(IF = \displaystyle {{AB} \over 2}\)
\(b)\) Trong \(∆ EIF\) ta có: \(EF ≤ EI + IF\) (dấu \(“=”\) xảy ra khi \(E, I, F\) thẳng hàng)
Mà \(EI =\displaystyle {{CD} \over 2}{\rm{;}}\,\,IF{\rm{ = }}{{AB} \over 2}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow {\rm{EF}} \le\displaystyle {{CD} \over 2} + {{AB} \over 2}\)
Vậy \(EF \le \displaystyle {{AB + CD} \over 2}\) (dấu bằng xảy ra khi \(AB // CD\))
