a) (S) có tâm \(I\left( { - \dfrac{3}{2}; - 2;\dfrac{5}{2}} \right)\) và có bán kính \(r = \sqrt {\dfrac{9}{4} + 4 + \dfrac{{25}}{4} - 6} = \dfrac{{\sqrt {26} }}{2}\)
b) \(d(I,(P)) = \dfrac{{\left| {2.\left( { - \dfrac{3}{2}} \right) - 3.\left( { - 2} \right) + 4.\dfrac{5}{2} - 5} \right|}}{{\sqrt {4 + 9 + 16} }}\)\( = \dfrac{8}{{\sqrt {29} }} < \dfrac{{\sqrt {26} }}{2}\)
Vậy \(d(I, (P)) < r\)
Suy ra mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn tâm H bán kính r’.
H chính là hình chiếu vuông góc của I xuống mặt phẳng (P).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua I và vuông góc với (P). Ta có vecto chỉ phương của \(\Delta \) là
\(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2; - 3;4)\)
Phương trình tham số của \(\Delta \) : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \dfrac{3}{2} + 2t}\\{y = - 2 - 3t}\\{z = \dfrac{5}{2} + 4t}\end{array}} \right.\)
\(\Delta \) cắt (P) tại \(H\left( { - \dfrac{3}{2} + 2t; - 2 - 3t;\dfrac{5}{2} + 4t} \right)\). Ta có:
\(H \in (\alpha )\)\( \Leftrightarrow 2\left( { - \dfrac{3}{2} + 2t} \right) - 3( - 2 - 3t)\) \( + 4\left( {\dfrac{5}{2} + 4t} \right) - 5 = 0\)
\( \Leftrightarrow 29t + 8 = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{8}{{29}}\)
Suy ra tọa độ \(H\left( { - \dfrac{3}{2} - \dfrac{{16}}{{29}}; - 2 + \dfrac{{24}}{{29}};\dfrac{5}{2} - \dfrac{{32}}{{29}}} \right)\) hay \(H\left( {\dfrac{{119}}{{58}};\dfrac{{ - 34}}{{29}};\dfrac{{81}}{{58}}} \right)\)
Ta có \(r{'^2} = {r^2} - {d^2}\left( {I,(P)} \right)\)\( = \dfrac{{26}}{4} - \dfrac{{64}}{{29}} = \dfrac{{249}}{{58}}\).
Suy ra \(r' = \sqrt {\dfrac{{249}}{{58}}} \).
