a) + Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) có \(MA,MP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(M\) nên \(OM\) là phân giác \(\widehat {AOP} \Rightarrow \widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\) (1)
Tương tự ta có \(NB,NP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(N\) nên \(ON\) là phân giác \(\widehat {BOP} \Rightarrow \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) (2) và
\(\widehat {NPO} = \widehat {NBO} = 90^\circ \)
Mà \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = 180^\circ \) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có \(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_4}}\\ = \dfrac{{\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}}}}{2} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)
Hay \(\widehat {MON} = 90^\circ \)
+ Lại có \(\widehat {APB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
+ Xét tứ giác \(OPNB\) có \(\widehat {NPO} = \widehat {NBO} = 90^\circ \) nên \(\widehat {NPO} + \widehat {NBO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(OPNB\) là tứ giác nội tiếp, suy ra \(\widehat {PBO} = \widehat {PNO}\) (cùng nhìn cạnh \(PO\))
Xét \(\Delta MON\) và \(\Delta APB\) có \(\widehat {MON} = \widehat {APB}\left( { = 90^\circ } \right)\) và \(\widehat {PBA} = \widehat {MNO}\,\left( {cmt} \right)\) nên \(\Delta APB \backsim \Delta MON\left( {g - g} \right)\) (đpcm)
b) + Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) có \(MA,MP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(M\) và \(NB,NP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(N\) nên \(MA = MP;NP = NB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
+ Xét tam giác \(MON\) vuông tại \(O\) có \(OP \bot MN\) (do \(MN\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)) nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(O{P^2} = MP.PN\)
Mà \(MA = MP;NP = NB\) (cmt) và \(OP = R\) nên \(O{P^2} = MP.PN \Leftrightarrow {R^2} = AM.BN\) (đpcm)
c) Vì \(AM = \dfrac{R}{2}\) mà \(AM.BN = {R^2}\) (câu b) nên \(BN = \dfrac{{{R^2}}}{{AM}} = \dfrac{{{R^2}}}{{\dfrac{R}{2}}} = 2R\)
Suy ra \(MP = MA = \dfrac{R}{2};NP = NB = 2R \\\Rightarrow MN = MP + NP = \dfrac{R}{2} + 2R = \dfrac{5}{2}R.\)
Vì \(\Delta MON \sim \Delta APB\) (câu a) nên tỉ số đồng dạng là \(k = \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}R}}{{2R}} = \dfrac{5}{4}\)
Suy ra tỉ số diện tích \(\dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}}\, = {k^2} = {\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{16}}\) (tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)
d) Nửa hình tròn \(APB\) quay sinh ra hình cầu bán kính \(R\) nên thể tích hình cầu là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\)
