a) \(F(x) = 1 - \cot \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)\)
Ta có: \(F'\left( x \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}\) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{{1 - \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)}}\) \( = \dfrac{1}{{1 + \sin x}} = f\left( x \right)\)
Do đó \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).
b) \(G'\left( x \right) = \left( {2\tan \dfrac{x}{2}} \right)'\) \( = 2.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}\) \( = \dfrac{2}{{1 + \cos x}} \ne f\left( x \right)\) nên \(G\left( x \right)\) không là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).
c) \(H'\left( x \right) = \left[ {\ln \left( {1 + \sin x} \right)} \right]'\) \( = \dfrac{{\left( {1 + \sin x} \right)'}}{{1 + \sin x}}\) \( = \dfrac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} \ne f\left( x \right)\) nên \(H\left( x \right)\) không là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).
d) \(K'\left( x \right) = 2\left( {1 - \dfrac{1}{{1 + \tan \dfrac{x}{2}}}} \right)'\) \( = - 2.\dfrac{{ - \left( {1 + \tan \dfrac{x}{2}} \right)'}}{{{{\left( {1 + \tan \dfrac{x}{2}} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{2.\dfrac{1}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\dfrac{x}{2}} \right)}}{{{{\left( {1 + \tan \dfrac{x}{2}} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}.\dfrac{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)}^2}}}\)
\( = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2} + 2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} + {{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}\) \( = \dfrac{1}{{1 + \sin x}} = f\left( x \right)\).
Vậy \(K\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).
