a) Ta có \(5\) số hạng đầu là: \(\dfrac{1}{{10}},\dfrac{1}{{{{10}^3}}},\dfrac{1}{{{{10}^5}}},\dfrac{1}{{{{10}^7}}},\dfrac{1}{{{{10}^9}}}.\)
Dự đoán dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm.
Để chứng minh, ta xét tỉ số \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{10}^{1 - 2\left( {n + 1} \right)}}}}{{{{10}^{1 - 2n}}}} = \dfrac{1}{{{{10}^2}}} < 1.\) Vậy dãy số giảm
b) Ta có \(5\) số hạng đầu là \( - 4,2,20,74,236.\)
Xét dấu của hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) \( = {3^{n + 1}} - 7 - {3^n} + 7 = {3^{n + 1}} - {3^n} > 0\) nên dãy số tăng.
c) Ta có \(5\) số hạng đầu là \(3,\dfrac{3}{4},\dfrac{3}{9},\dfrac{3}{{16}},\dfrac{3}{{25}}.\)
Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) \( = \dfrac{2}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}\) \( = \left( {\dfrac{2}{{n + 1}} - \dfrac{2}{n}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)\) \( = \dfrac{{ - 2}}{{n\left( {n + 1} \right)}} + \dfrac{{ - 2n - 1}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} < 0\)
Do đó dãy số giảm.
d) Ta có \(5\) số hạng đầu là \(\dfrac{3}{2},\dfrac{{9\sqrt 2 }}{4},\dfrac{{27\sqrt 3 }}{8},\dfrac{{81\sqrt 4 }}{{16}},\dfrac{{243\sqrt 5 }}{{32}}.\)
Xét thương \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{3^{n + 1}}\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}:\dfrac{{{3^n}\sqrt n }}{{{2^n}}}\) \( = \dfrac{{{3^{n + 1}}\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{{{3^n}\sqrt n }}\) \( = \dfrac{{3\sqrt {n + 1} }}{{2\sqrt n }} > 1\)
Do đó dãy số tăng.
