Ta có \(\displaystyle AM\) là đường trung tuyến của \(\displaystyle ∆ABC\) nên \(\displaystyle M\) là trung điểm của \(\displaystyle BC\)
\(\displaystyle \Rightarrow BM = MC = {1 \over 2}BC\)
Mà \(\displaystyle AM = {1 \over 2}BC\left( {gt} \right)\)
Suy ra: \(\displaystyle AM = BM = MC \)
Vì \(\displaystyle ∆AMB\) có \(\displaystyle AM = MB \) nên \(\displaystyle ∆AMB\) cân tại \(\displaystyle M.\)
\(\displaystyle \Rightarrow \widehat B = \widehat {{A_1}}\) (tính chất tam giác cân) (1)
Vì \(\displaystyle ∆AMC\) có \(\displaystyle AM = MC\) nên \(\displaystyle ∆AMC\) cân tại \(\displaystyle M.\)
\(\displaystyle \Rightarrow \widehat C = \widehat {{A_2}}\) (tính chất tam giác cân) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\displaystyle \widehat B + \widehat C = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC}\) (3)
Trong \(\displaystyle ∆ABC\) ta có:
\(\displaystyle \widehat B + \widehat C + \widehat {BAC} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(\displaystyle \widehat {BAC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \)
\(\displaystyle \Rightarrow 2\widehat {BAC} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ \)
Vậy \(\displaystyle ∆ABC\) vuông tại \(\displaystyle A.\)
