Bài 4. Đường trung bình của tam giác, của hình thang
Bài Tập và lời giải
Vẽ tam giác \(ABC\) bất kì rồi lấy trung điểm \(D\) của \(AB.\) Qua \(D\) vẽ đường thẳng song song với \(BC\), đường thẳng này cắt \(AC\) ở \(E.\) Bằng quan sát, hãy nêu dự đoán về vị trí của điểm \(E\) trên cạnh \(AC.\)
Vẽ tam giác \(ABC\) bất kì rồi lấy trung điểm \(D\) của \(AB\), trung điểm \(E\) của \(AC.\) Dùng thước đo góc và thước chia khoảng để kiểm tra rằng \(\widehat {ADE} = \widehat B\) và \(DE =\dfrac{1}{2}BC\)
Tính độ dài đoạn \(BC\) trên hình \(33.\)
Giữa hai điểm \(B\) và \(C\) có chướng ngại vật (h.\(33\)). Biết \(DE = 50\,m\), ta có thể tính được khoảng cách giữa hai điểm \(B\) và \(C\)
Cho hình thang \(ABCD\) (\(AB // CD\)). Qua trung điểm \(E\) của \(AD\) kẻ đường thẳng song song với hai đáy, đường thẳng này cắt \(AC\) ở \(I\), cắt \(BC\) ở \(F\) (h.\(37\)). Có nhận xét gì về vị trí của điểm \(I\) trên \(AC\), điểm \(F\) trên \(BC\)?
Tính khoảng cách \(AB\) giữa hai mũi của compa trên hình \(42\), biết rằng \(C\) là trung điểm của \(OA\), \(D\) là trung điểm của \(OB\) và \(CD = 3\,cm.\)
Hai điểm \(A\) và \(B\) thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường \(xy.\) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(xy\) bằng \(12\,cm\), khoảng cách từ điểm \(B\) đến \(xy\) bằng \(20\,cm.\) Tính khoảng cách từ trung điểm \(C\) của \(AB\) đến \(xy.\)
Hình thang \(ABCD\) có đáy \(AB, CD.\) Gọi \(E, F, K\) theo thứ tự là trung điểm của \(AD, BC, BD.\) Chứng minh ba điểm \(E, K, F\) thẳng hàng.
Tính \(x, y\) trên hình \(45\), trong đó \(AB // CD // EF // GH.\)
Cho tứ giác \(ABCD.\) Gọi \(E, F, K\) theo thứ tự là trung điểm của \(AD, BC, AC.\)
a) So sánh các độ dài \(EK\) và \(CD, KF\) và \(AB.\)
b) Chứng minh rằng \(EF ≤ \dfrac{AB+CD}{2}\).
Cho hình thang \(ABCD\) (\(AB // CD\)), \(E\) là trung điểm của \(AD,\) \(F\) là trung điểm của \(BC.\) Đường thẳng \(EF\) cắt \(BD\) ở \(I,\) cắt \(AC\) ở \(K.\)
a) Chứng minh rằng \(AK = KC, BI = ID.\)
b) Cho \(AB = 6\,cm, CD = 10\,cm.\) Tính các độ dài \(EI, KF, IK.\)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Gọi M là trung điểm của đường cao AH. D là giao điểm của CM và AB.
a)Gọi N là trung điểm của BD. Chứng minh rằng \(HN\parallel DC.\)
b)Chứng minh \(AD = {1 \over 3}AB.\)
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của ba cạnh AB, AC và BC. Gọi I là giao điểm của AP và MN. Chứng minh IA = IP; IM = IN.
a) \(IM \bot AD\)
b) \(IM \bot DM.\)
a) \(\Delta BAE = \Delta CAD\)
b) \(\Delta MDC\) cân
c) \(HK = HC.\)
Cho hình thang ABCD \(\left( {AB// CD} \right)\) . Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của BD, AC, DC. Gọi H là giao điểm của đường thẳng qua E vuông góc với AD và đường thẳng qua F vuông góc với BC. Chứng minh rằng:
a) H là trực tâm của \(\Delta EFK.\)
b) \(\Delta HCD\) cân.
Cho hình thang ABCD \(\left( {AB// CD} \right)\) và AB = BC.
a) Chứng minh: CA là tia phân giác của \(\widehat {BCD}.\)
b) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC, BD. Chứng minh rằng M, N, E, F thẳng hàng.
Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, L lần lượt là trung điểm của AB, AD và đường chéo AC. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt AC tại H.
Chứng minh rằng: H là trực tâm của tam giác MNL.
Cho tam giác ABC có các trung tuyến BD và CE. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BE và CD. Và M, N theo thứ tự là giao điểm của IK với BD và CE. Chứng minh IM = MN = NK.
Cho hình thang ABCD \(\left( {AB// CD} \right)\) . Trên cạnh AD lấy hai điểm I và K sao cho AI = IK = KD. Từ I và K kẻ các đường thẳng song song với hai đáy cắt BC theo thứ tự tại F và H.
a) Chứng minh: BF = FH = HC.
b) Cho CD = 8cm; IF = 6cm. Tính AB và HK.
Cho hình thang ABCD \(\left( {AB//CD} \right)\). Các tia phân giác của các góc A và D cắt nhau tại I, và của các góc B và C cắt nhau tại J. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: bốn điểm M, N, I, J thẳng hàng.
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I của AM, cắt các cạnh AB, AC. Gọi \(A',B',C'\) theo thứ tự là hình chiếu của A, B, C lên d. Chứng minh: \(BB' + CC' = 2AA'.\)
Dựng hình thang ABCD \(\left( {AB//CD} \right)\) biết: AB = 2cm, CD = 5cm, AD = 3cm và \(\widehat D = {60^ \circ }.\)
Dựng hình thang ABCD \(\left( {AB//CD} \right)\) biết: AB = 1,5cm; CD = 3,5cm; \(\widehat C = {45^ \circ };\widehat D = {60^ \circ }\)
Dựng hình thang cân ABCD \(\left( {AB// CD} \right)\) biết AB = a, đường chéo AC = m, góc giữa hai đường chéo là \(\alpha .\)
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB. G là trung điểm của AH và CM, BG cắt cạnh AC tại N.
a)Chứng minh rằng BMNC là hình thang cân.
b)Đường thẳng qua N và song song với MC cắt đường thẳng BC tại P. Chứng minh rằng tam giác BNP cân.
c)Chứng minh rằng \(9M{N^2} = P{B^2}.\)
