Bài 4. Một số phương pháp tích phân
Bài Tập và lời giải
Bài 17. Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_0^1 {\sqrt {x + 1} dx;} \)
b) \(\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}}} dx;\)
c) \(\int\limits_0^1 {{t^3}} {\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dt;\)
d) \(\int\limits_0^1 {{{5x} \over {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}} dx;\)
e) \(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {{{4x} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx;\)
f) \(\int\limits_0^{{\pi \over 6}} {\left( {1 - \cos 3x} \right)} \sin 3xdx.\)
Bài 18. Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_1^2 {{x^5}} \ln xdx;\) b) \(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)} {e^x}dx;\)
c) \(\int\limits_0^\pi {{e^x}} \cos xdx;\) d) \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos xdx.} \)
Bài 19. Tính
a) \(\int\limits_0^1 {\sqrt {{t^5} + 2t} } \left( {2 + 5{t^4}} \right)dt;\)
b) \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\sin {\rm{xcosx}}dx} .\)
Bài 20.Tính
a) \(\int\limits_0^\pi {5{{\left( {5 - 4\cos t} \right)}^{{1 \over 4}}}} \sin tdt;\)
b) \(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {{{{x^3}dx} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} .\)
Bài 21. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số \(y = {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\) Khi đó \(\int\limits_1^3 {{{\sin 2x} \over x}} dx\) là
\(\left( A \right)\,\,F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right);\) \(\left( B \right)\,F\left( 6 \right) - F\left( 2 \right);\)
\(\left( C \right)\,F\left( 4 \right) - F\left( 2 \right);\) \(\left( D \right)\,F\left( 6 \right) - F\left( 4 \right);\)
Bài 22. Chứng minh rằng:
a) \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx.} \)
b) \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]} dx.\)
Bài 23. Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 3.} \) Tính \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} dx\) trong các trường hợp sau:
a) f là hàm số lẻ; b) f là hàm số chẵn.
Bài 24. Tính các tích phân sau :
a) \(\int\limits_1^2 {{x^2}{e^{{x^3}}}dx;} \) b) \(\int\limits_1^3 {{1 \over x}} {\left( {\ln x} \right)^2}dx;\)
c) \(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {x\sqrt {1 + {x^2}} } dx;\)
\(d)\,\int\limits_0^1 {{x^2}{e^{3{x^3}}}dx;} \)
\(e)\,\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos x} \over {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}} dx.\)
Bài 25. Tính các tích phân sau :
a) \(\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {x\cos 2xdx;} \) b) \(\int\limits_0^1 {{{\ln \left( {2 - x} \right)} \over {2 - x}}} dx;\)
c) \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{x^2}\cos xdx;} \)
\(d)\,\int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} dx;} \) \(e)\,\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx.} \)
