a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: \(1 - x^2= 0 ⇔ x = ±1\).
Khi đó thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
\(V=\pi \int_{-1}^{1}(1-x^{2})^{2}dx=2\pi \int_{0}^{1}(x^{4}-2x^{2}+1)dx\)
\(=2\pi \left (\dfrac{x^{5}}{5}- \dfrac{2}{3}x^{3}+x \right )|_{0}^{1}\) \(=2\pi\left ( \dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{3}+1 \right )=\dfrac{16\pi}{15}.\)
b) Thể tích cần tìm là:
\(V= \pi \int_{0}^{\pi }\cos^{2}xdx \) \(=\dfrac{\pi }{2}\int_{0}^{\pi}(1+\cos 2x)dx\)
\(=\dfrac{\pi }{2}\left (x+\dfrac{1}{2}\sin 2x \right )|_{0}^{\pi }=\dfrac{\pi }{2}.\pi =\dfrac{\pi ^{2}}{2}\)
c) Thể tích cần tìm là:
\(V=\pi\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\tan^{2}xdx\) \(=\pi\int_{0}^{\frac{\pi }{4} }\left (\dfrac{1}{\cos^{2}x}-1 \right )dx\)
\(=\pi \left (\tan x-x \right )|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\pi (1-\dfrac{\pi }{4})\)
\(=\dfrac{\pi(4-\pi)}{4}\).
