Bài 4 trang 162 SGK Vật lí 12
Lời giải
Bài Tập và lời giải
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM ( 2điểm)
Câu 1: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0?
A. lim\({3^n}\)
B.\(\lim \dfrac{{2{n^2} - 3n + 1}}{{{n^3} + 4{n^2} - 3}}\)
C. lim\({n^k}\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
D. lim\(\dfrac{{{n^3}}}{{{n^2} + 3}}\)
Câu 2:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{x + 1}}{{2x - 6}}\) là:
A. \(\dfrac{1}{2}\) B. \(\dfrac{1}{6}\)
C. \( - \infty \) D. \( + \infty \)
Câu 3: Đạo hàm của hàm số \({\rm{y}} = \dfrac{{{\rm{x}} - 2}}{{2{\rm{x}} + 3}}\) là:
A.\({\rm{y'}} = \dfrac{7}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 3} \right)}^2}}}\) B.\({\rm{y'}} = \dfrac{{ - 7}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 3} \right)}^2}}}\)
C.\({\rm{y'}} = \dfrac{{{\rm{x}} - 2}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 3} \right)}^2}}}\) D.\({\rm{y'}} = 7\)
Câu 4: Hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x + 5\cos x + 8\) có đạo hàm là:
A.\(f'(x) = 2c{\rm{os2}}x + 5\sin x\).
B.\(f'(x) = 2c{\rm{os2}}x - 5\sin x\).
C.\(f'(x) = c{\rm{os2}}x + 5\sin x\).
D.\(f'(x) = - 2c{\rm{os2}}x - 5\sin x\).
Câu 5:Một chất điểm chuyển động có phương trình \(S(t) = {t^3} - 3{t^2} + 5t + 2\). Trong đó t > 0, t tính bằng giây(s) và S tính bằng mét(m). Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 là:
A.\(24m/{s^2}\) B. \(17m/{s^2}\)
C.\(14m/{s^2}\) D.\(12m/{s^2}\)
Câu 6:Tiếp tuyến của đồ thị hàm số\(f(x) = 2{x^4} - 4x + 1\)tại điểm M(1; -1) có hệ số góc bằng:
A. 4 B. -12
C. 1 D. 0
Câu 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, có\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \,,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b \,,\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow c .\) Gọi I là trung điểm của BC’. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. \(\overrightarrow {AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow a + \overrightarrow b + \dfrac{1}{2}\overrightarrow c \)
B. \(\overrightarrow {AC'} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \)
C. \(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow a + \dfrac{1}{2}\overrightarrow b + \dfrac{1}{2}\overrightarrow c \)
D. \(\overrightarrow {AC'} = 2(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c )\)
Câu 8:Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy.
B. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật.
C. Hình hộp có các cạnh bằng nhau gọi là hình lập phương.
D. Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đều.
PHẦN II: TỰ LUẬN ( 8điểm)
Câu 1(2,5điểm):
a) Tìm cácgiới hạn sau
i) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - 3{x^5} + 5{x^3} + x - 2)\)
ii) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} - x}}{{2 - 3x}}\)
b) Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {m + \dfrac{n}{{{x^2}}}} \right)^4}\) ,( với m,n là tham số) tại điểm x = 1
Câu 2(1,0 điểm):Tìm a để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}\,\,\,\,neu\,\,\,x < 2\\ax + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,\,x \ge 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\) liên tục tại \(x = 2.\)
Câu 3(2,0điểm)
a. Cho hàm số \(y = {x^3} - 5{x^2} + 2\) có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(y = - 3x - 7\)
b. Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + m}}{{x + 1}}\;\) có đồ thị là \(({C_m})\). Gọi \({k_1}\) là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị \(({C_m})\) với trục hoành. Gọi \({k_2}\) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị \(({C_m})\) tại điểm có hoành độ x =1. Tìm tất cả giá trị của tham số m sao cho \(\left| {{k_1} + {k_2}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 4(2,5điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\),\(SA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
a. Chứng minh \(BC \bot SB\)
b. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh \(\left( {BDM} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\)
c. Tính góc giữa đường thẳng SB và mp(SAC).
Câu 1: Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}}.\)
A.\(1.\) B.\(2.\)
C.\(3.\) D.\(4.\)
Câu 2:Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 2}}.\)
A.\(1.\) B.\(2.\)
C.\(3.\) D.\(4.\)
Câu 3: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 1}} = a + b\sqrt 2 (a,b \in \mathbb{Q})\). Tính a + b.
A.\(1.\) B.\(2.\)
C.\(5.\) D.\(0.\)
Câu 4:Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}.\)
A.\(1.\) B.\( - 2.\)
C.\(3.\) D.\(5.\)
Câu 5: Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x\,\, \to \,\,2} (x - 2)\)
A.\(7.\) B.\( - 2.\)
C.\(3.\) D.0.
Câu 6: Biết\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x - m\sqrt {{x^2} + 2} }}{{x + 2}} = 2.\)Tìm m.
A.\(1.\) B.\( - 2.\)
C.\(3.\) D.\(4.\)
Câu 7:Tìm m để hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\quad neu\quad x \ne 2\\m\quad \quad \quad neu\quad x = 2\end{array} \right.\quad \) liên tục tại x = 2
A.\(1.\) B.\(2.\)
C.\(4.\) D.\( - 4.\)
Câu 8:Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {2x + 2} - 2x}}{{x - 1}}\)
A.\( - \dfrac{1}{2}.\) B.\(2.\)
C.\(3.\) D.\( - \dfrac{3}{2}.\)
Câu 9: Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = m;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = n.\)Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) + g(x)} \right]\)
A.\(m + n.\) B.\(m - n.\)
C.\(m.\) D.\(n.\)
Câu 10:Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 3.\)Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f(x) + x} \right].\)
A.\(5.\) B.\( - 2.\)
C.\(1.\) D.\(4.\)
Câu 11:Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{{({x^2} + 2x - 2)}^5} - 1}}{{x - 1}}.\)
A.\(1.\) B.\(2.\)
C.\(3.\) D.\(20.\)
Câu 12:Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{} \dfrac{{n + 1}}{{{n^2} + 2}}.\)
A.\(1.\) B.\(2.\)
C.\(3.\) D.\(0.\)
Câu 13:Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{} \dfrac{{n + \sqrt {{n^2} + 1} }}{{n + 3}}.\)
A.\(1.\) B.\(2.\)
C.\(3.\) D.\(4.\)
Câu 14:Cho dãy số\({u_n}\)thỏa \(\mathop {\lim }\limits_{} {u_n} = 2.\)Tính \(\mathop {\lim }\limits_{} ({u_n} + \dfrac{{{2^n}}}{{{2^n} + 3}}).\)
A.\(1.\) B.\(2.\)
C.\(3.\) D.\(4.\)
Câu 15:Cho dãy số\({u_n},{v_n}\)thỏa \(\mathop {\lim }\limits_{} {u_n} = 2,\mathop {\lim }\limits_{} {v_n} = 1.\)Tính \(\mathop {\lim }\limits_{} (2{u_n} - 3{v_n}).\)
A.\(1.\) B.\(2.\)
C.\(3.\) D.\(7.\)
Câu 16:Tính đạo hàm của hàm số\(y = {x^2} + 1\).
A.\(y' = {x^2} + 1\)
B.\(y' = 2x + 1\)
C.\(y' = 2x\)
D.\(y' = 2x - 1\)
Câu 17:Tính đạo hàm của hàm số\(y = \sin 2x\).
A.\(y' = 2\sin x\)
B.\(y' = \sin 2x\)
C.\(y' = 2\cos x\)
D.\(y' = 2\cos 2x\)
Câu 18:Tính đạo hàm của hàm số\(y = {({x^2} + x)^2}\).
A.\(y' = 3{({x^2} + x)^2}\)
B.\(y' = 2x + 1\)
C.\(y' = 2(2x + 1)\)
D.\(y' = 2({x^2} + x)(2x + 1)\)
Câu 19:Cho hàm số\(y = f(x) = {x^2} + mx\)( m là tham số) . Tìm m, biết \(f'(1) = 3\).
A.\(m = 1.\)
B.\(m = 2.\)
C.\(m = 3.\)
D.\(m = 7.\)
Câu 20:Cho hàm số \(y = \sin x\).Tính \(y''(0)\)
A.\(y''(0) = 0.\)
B.\(y''(0) = 1.\)
C.\(y''(0) = 2.\)
D.\(y''(0) = - 2.\)
Câu 21:Cho hàm số \(y = f(x)\)có đạo hàm trên tập số thực.Tìm hệ thức đúng?
A.\(f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}.\)
B.\(f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f(x)}}{{x - 1}}.\)
C.\(f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f(x)}}{x}.\)
D.\(f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f(1)}}{{x - 1}}.\)
Câu 22: Cho hàm số \(y = f(x)\)có đạo hàm đến cấp 2 trên tập số thực.Tìm hệ thức đúng?
A.\(f''(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}.\)
B.\(f''(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f'(x) - f'(1)}}{{x - 1}}.\)
C.\(f''(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f(x)}}{x}.\)
D.\(f''(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f(1)}}{{x - 1}}.\)
Câu 23: Tìm hệ số của x trong khai triển \({({x^2} + x + 2)^2}(x + 1)\)thành đa thức
A.\(16.\) B.\(6.\)
C.\(8.\) D.\(2.\)
Câu 24: Tìm hệ số của x2 trong khai triển \({({x^2} + x + 2)^3}\)thành đa thức
A.\(12.\) B.\(18.\)
C.\(19.\) D.\(20.\)
Câu 25: Hàm số \(y = (1 + x)\sqrt {1 - x} \)có đạo hàm \(y' = \dfrac{{ax + b}}{{2\sqrt {1 - x} }}\).Tính \(a + b.\)
A.\( - 2.\) B.\(2.\)
C.\( - 3.\) D.\(1.\)
Câu 26: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 3x + 1\)tại điểm có hoành độ bằng 1.
A.\(y = 5x.\) B.\(y = 5x + 5.\)
C.\(y = 5x - 5.\) D.\(y = x.\)
Câu 27: Hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}{x}\)có đạo hàm \(y' = \dfrac{{ax + b}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}\).Tìm \(\max \left\{ {a,b} \right\}.\)
A.\(2.\) B.\( - 1.\)
C.\( - 3.\) D.\( - 7.\)
Câu 28: Cho hàm số \(y = f(x)\)có đạo hàm trên tập số thực, biết \(f(3 - x) = {x^2} + x\) .Tính \(f'(2).\)
A.\(f'(2) = - 1.\)
B.\(f'(2) = - 3.\)
C.\(f'(2) = - 2.\)
D.\(f'(2) = 3.\)
Câu 29: Tìm vi phân của hàm số\(y = {x^3}\)
A.\(dy = {x^2}dx.\)
B.\(dy = 3xdx.\)
C.\(dy = 3{x^2}dx.\)
D.\(dy = - 3{x^2}dx.\)
Câu 30: Giải phương trình \(f''(x) = 0\), biết \(f(x) = {x^3} - 3{x^2}\) .
A.\(x = 0.\) B.\(x = 2.\)
C.\(x = 0,x = 2.\) D.\(x = 1.\)
Câu 31: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s = {t^3} - 3{t^2} - 9t + 2\)( t được tính bằng giây, s được tính bằng mét). Tìm gia tốc khi \(t = 2s\).
A.\(a = 12m/{s^2}.\)
B.\(a = 6m/{s^2}.\)
C.\(a = - 9m/{s^2}.\)
D.\(a = 2m/{s^2}.\)
Câu 32: Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị \(y = {x^3} - 2{x^2} - 3x + 1\) tại điểm có hoành độ bằng 0.
A. \(k = - 3\) B. \(k = 2\)
C. \(k = 1\) D. \(k = 0\)
Câu 33: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s = {t^2} - 2t + 2\)( t được tính bằng giây, s được tính bằng mét). Tính vận tốc tại thời điểm \(t = 3s\).
A.\(v = 2m/s.\)
B.\(v = 4m/s.\)
C.\(v = - 2m/s.\)
D.\(v = - 4m/s.\)
Câu 34: Tính\(d({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - x\cos x).\)
A.\(d({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - x\cos x) = xsinxdx.\)
B.\(d({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - x\cos x) = x{\mathop{\rm cosxdx}\nolimits} .\)
C.\(d({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - x\cos x) = {\mathop{\rm cosxdx}\nolimits} .\)
D.\(d({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - x\cos x) = sinxdx.\)
Câu 35: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và
OA=OB =OC= 1. Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên).
Góc giữa hai đường thẳng OM và ABbằng
A.90o. B. 30o.
C. 60o.
Câu 36: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ bên).
Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặtphẳng (ABCD) bằng
A.\(\dfrac{2}{3}.\) B.\(\dfrac{1}{3}.\)
C.\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\) D.\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Câu 37: Cho tứ diện đều ABCD. Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
A.\({30^0}.\) B.\({45^0}.\)
C.\({60^0}.\) D.\({90^0}.\)
Câu 38: Giải bất phương trình \(f'(x) > 0\), biết \(f(x) = 2x + \sqrt {1 - {x^2}} .\)
A.\(x \in \left( { - 1;\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right).\)
B.\(x \in \left( { - 1;1} \right).\)
C.\(x \in \left( { - 1;\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right).\)
D.\(x \in \left( { - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }};\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right).\)
( Đề toán này áp dụng từ câu 39 đến câu 47)
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng chứa đáy (ABCD), độ dài cạnh SA bằng 2a ( Tham khảo hình vẽ bên).
Câu 39: Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ?.
A.SD. B.SA.
C.SB. D.SC.
Câu 40: Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng (SAB) ?.
A.AB. B.AC.
C.AD. D.AS.
Câu 41: Mặt phẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng (SAB) ?
A.(SAB) B.(SAC).
C.(SAD) . D.(SCD).
Câu 42: Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) bằng
A.SD. B.SA.
C.SB. D.SC.
Câu 43: Tính tang của góc tạo bởi hai đường thẳng SB và CD
A.\(3.\) B.\(\sqrt 2 .\)
C.\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}.\) D.\(2.\)
Câu 44: Tính tang của góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
A.\(3.\) B.\(\sqrt 2 .\)
C.\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}.\) D.\(2.\)
Câu 45: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
A.\(a.\) B.\(\sqrt 2 a.\)
C.\(2a.\) D.\(3a.\)
Câu 46: Tính côsin của góc tạo bởi mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD).
A.\(\dfrac{1}{3}.\) B.\(3.\)
C.\(\sqrt 2 .\) D.\(\dfrac{3}{{\sqrt 2 }}.\)
Câu 47: Tính khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng SB.
A.\(3a.\) B.\(\dfrac{3}{5}a.\)
C.\(\dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}a.\) D.\(\dfrac{{\sqrt {21} a}}{3}.\)
Câu 48: Biết \(\overrightarrow {AC} = m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AD} + p\overrightarrow {AS} \). Tính tổng \(m + n + p\)
A.\(3.\) B.\(2.\)
C.\(1.\) D.\(0.\)
Câu 49:Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
A.\(a.\) B.\(\sqrt 2 a.\)
C.\(\dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}a.\) D.\(\dfrac{{\sqrt {21} }}{3}a.\)
Câu 50: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).
A.\(2a.\) B.\(\sqrt 2 a.\)
C.\(\dfrac{2}{3}a.\) D.\(\dfrac{3}{2}a.\)
Câu 1.\(\lim \left( {2n + 3} \right)\) bằng
A.\( + \infty .\) B.\(3.\)
C.\(5.\) D. \( - \infty .\)
Câu 2. Biết \(\lim \dfrac{{1 + {3^n}}}{{{3^{n + 1}}}} = \dfrac{a}{b}\) ( a,b là hai số tự nhiên và\(\dfrac{a}{b}\) tối giản). Giá trị của \(a + b\)bằng
A.\(3.\) B.\(\dfrac{1}{3}.\)
C.\(0.\) D. \(4.\)
Câu 3.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} - 2x - 3)\) bằng
A.\( - 5.\) B.\(0.\)
C.\(4.\) D. \( - 4.\)
Câu 4. Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + 2}}{{1 - 2x}} = - \dfrac{a}{b}\) ( a,b là hai số tự nhiên và\(\dfrac{a}{b}\) tối giản). Giá trị của \(a - b\)bằng
A.\(3.\) B.\( - 1.\)
C.\( - 3.\) D. \(1.\)
Câu 5:\(\lim \dfrac{{2n + 3}}{{{n^2} + 2n + 4}}\) bằng
A.\(2.\) B.\(1.\)
C.\(0.\) D. \( + \infty .\)
Câu 6.Biết rằng phương trình \({x^5} + {x^3} + 3x - 1 = 0\)có duy nhất 1 nghiệm \({x_0},\)mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.\({x_0} \in \left( {0;1} \right).\)
B. \({x_0} \in \left( { - 1;0} \right).\)
C. \({x_0} \in \left( {1;2} \right).\)
D. \({x_0} \in \left( { - 2; - 1} \right).\)
Câu 7.Cho hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 2.\)Giá trị của \(y'\left( 1 \right)\)bằng
A.\(7.\) B.\(4.\)
C.\(2.\) D. \(0.\)
Câu 8.Đạo hàm của hàm số \(y = \sin 2x\)bằng
A.\(y' = \cos 2x.\)
B. \(y' = 2\cos 2x.\)
C. \(y' = - 2\cos 2x.\)
D. \(y' = - \cos 2x.\)
Câu 9.Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\)bằng
A.\(y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
B. \(y' = 1.\)
C. \(y' = \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
D. \(y' = \dfrac{{ - 2}}{{x - 1}}.\)
Câu 10.Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \)bằng
A. \(y' = \sqrt {2x} .\)
B. \(y' = \dfrac{x}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
C. \(y' = \dfrac{1}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
D. \(y' = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
Câu 11.Biết \(AB\)cắt mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\)tại điểm\(I\)thỏa mãn\(IA = 3IB,\)mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.\(4d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = 3d\left( {B,\left( \alpha \right)} \right).\)
B. \(3d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {B,\left( \alpha \right)} \right).\)
C. \(3d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = 4d\left( {B,\left( \alpha \right)} \right).\)
D. \(d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = 3d\left( {B,\left( \alpha \right)} \right).\)
Câu 12. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳngkhi và chỉ khi góc giữa chúng bằng \({90^{\rm{o}}}.\)
B. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó.
C. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng \({90^{\rm{o}}}.\)
D. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng đó.
B. PHẦN TỰ LUẬN (7 điểm):
Câu 1(1 điểm). Tính các giới hạn sau:
a.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - 2{x^2} + x + 1} \right);\)
b.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}}.\)
Câu 2 (1 điểm). Tính đạo hàm cấp 1 của mỗi hàm số sau:
a.\(y = \left( {x + 2\sqrt x } \right)\left( {{x^2} + 4} \right);\)
b. \(y = {\cot ^2}\dfrac{2}{x} + \tan \dfrac{{x + 1}}{2}.\)
Câu 3 (1 điểm).Tìm giá trị của tham số a để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 4x - 5}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1\\2x + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\)liên tục tại\({x_0} = 1.\)
Câu 4 (1 điểm). Cho hàm số\(f\left( x \right) = \cos 2x.\)Gọi \(\left( C \right)\)là đồ thị của hàm số \(y = {f^{\left( {50} \right)}}\left( x \right).\) Viết phương trình tiếp tuyến của\(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = \dfrac{\pi }{6}.\)
Câu 5 (3 điểm). Cho hình chóp\(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và góc giữa \(SD\) với mặt đáy bằng \({45^{\rm{o}}}.\) Gọi \(M,N,P\) lần lượt là các điểm trên cạnh \(SA,SC,SD\) sao cho \(SM = MA,\) \(SN = 2NC\) và \(SP = 2PD.\)
a. Chứng minh rằng \(\left( {SAC} \right) \bot BD;\)\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right).\)
b. Chứng minh rằng \(AP \bot NP.\)
c. Tính côsin của góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\) và \(\left( {BNP} \right).\)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm)
Câu 1: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{1}{{ - 2x + 3}}\) bằng ?
A.\(0\) B. \( + \infty \)
C. \( - \dfrac{1}{2}\) D. \( - \infty \)
Câu 2: Giới hạn nào sau đây có kết quả bằng 2.
A.\(\lim \sqrt {\dfrac{{2n + 1}}{{n - 2}}} \)
B.\(\lim \dfrac{{2n + 1}}{{n\sqrt n + 2}}\)
C. \(\lim \dfrac{{\sqrt {4{n^2} + 1} }}{{n + 2}}\)
D.\(\lim \dfrac{{\sqrt {4{n^2} + 1} }}{{\sqrt n + 2}}\)
Câu 3: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = - 3\) và \({u_6} = 27\). Công sai của cấp số cộng đó là?
A.5 B.6
C.7 D.8
Câu 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x\) tại điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) có hệ số góc k bằng ?
A.\(k = 0\) B.\(k = 6\)
C.\(k = - 3\) D.\(k = - 6\)
Câu 5: Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x\)bằng :
A.\(\sin 4x\) B.\( - \sin 4x\)
C. \({\sin ^2}2x\) D. \( - 2\sin 4x\)
Câu 6: Vi phân của hàm số \(y = {\left( { - x + 1} \right)^2}\)bằng :
A.\(dy = 2\left( { - x + 1} \right)dx\)
B.\(dy = - 2\left( { - x + 1} \right)\)
C. \(dy = {\left( { - x + 1} \right)^2}dx\)
D.\(dy = - 2\left( { - x + 1} \right)dx\)
Câu 7:Cho hình chóp \(S.ABC{\rm{D}}\), đáy \(ABCD\) là hình thoi, \(SA \bot (ABCD)\). Khẳng định nào sau đây sai ?
A.\(SA \bot BD\) B. \(AD \bot SC\)
C.\(SC \bot BD\) D. \(SO \bot BD\)
Câu 8: Chóp tứ giác đều \(S.ABC{\rm{D}}\) có độ dài cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng \((ABCD)\) bằng.
A.\(\dfrac{a}{2}\) B. \(\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\)
C.\(a\) D.\(\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Câu 9:(2 điểm). Tìm giới hạn sau:
a)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 2x + 1} \right)\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{9 - {x^2}}}.\)
Câu 10: (1điểm). Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 2}}\)có đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(\Delta :3x - y + 2 = 0\)
Câu 11:(1điểm). Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x^2} + x - 12}}{{x + 4}}(x \ne - 4)}\\{mx + 1(x = - 4)}\end{array}} \right.\) . Xác định m để hàm số đã cho liên tục tại \(x = - 4\).
Câu 12:(3 điểm). Cho hình chóp \(S.ABC{\rm{D}}\), đáy\(ABCD\)là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) và \(SA = a\sqrt 2 \). Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SB,SD\).
a) Chứng minh \(AE \bot \left( {SBC} \right)\) và \(AF \bot \left( {SDC} \right)\).
b) Tính góc giữa mặt phẳng\(\left( {SBC} \right)\)và mặt phẳng đáy.
c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\).
Tính diện tích của thiết diện theo a.
Câu 13:(1điểm).Cho hình vuông \({C_1}\) có độ dài cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông \({C_2}\)( tham khảo hình vẽ). Từ hình vuông \({C_2}\) tiếp tục làm như vậy để được hình vuông \({C_3}\),... . Tiếp tục quá trình trên ta được dãy các hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3},...,{C_n}...\). Gọi \({S_1},{S_2},{S_3},...,{S_n}...\) tương ứng là diện tích các hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3},...,{C_n}...\).
Tính tổng \({S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ...\)
Phần I. Trắc nghiệm (2 điểm)
Câu 1. Giải phương trình: \(\cos 2x + 2\cos x - 3 = 0\)
A. \(x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
B. \(x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
C. \(x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
D. \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Câu 2. Số nghiệm của phương trình \(\tan \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 \) thuộc đoạn \(\left[ {\dfrac{\pi }{2};2\pi } \right]\) là:
A. 1 B.2
C.3 D. 4
Câu 3. Có 12 học sinh gồm 8 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ 12 học sinh đó ra 3 học sinh gồm 2 nam và 1 nữ?
A. 112 cách B.220 cách
C.48 cách D. 224 cách
Câu 4. Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - \dfrac{1}{2},{u_2} = 1\) . Tính \({u_{10}}\)
A. \({u_{10}} = - 256\)
B. \({u_{10}} = 256\)
C. \({u_{10}} = 512\)
D. \({u_{10}} = - 512\)
Câu 5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3x\) tại tiếp điểm \(M\left( { - 1; - 4} \right)\) có hệ số góc \(k\) là:
A. \(k = 4\) B. \(k = 3\)
C. \(k = 0\) D. \(k = 6\)
Câu 6. Cho tứ diện ABCD. Khi đó hai đường thẳng AB và CD là hai đường thẳng
A. cắt nhau B.song song
C.chéo nhau D. trùng nhau
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và SD. Cắt hình chóp bởi mặt phẳng (CMN). Khi đó thiết diện nhân được là:
A. một tam giác
B.một tứ giác
C.một ngũ giác
D. một lục giác
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a. Tam giác SAB là tam giác vuông cân tại S và năm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy. Biết I là một điểm nằm trong không gian cách đều các điểm A, B, C, D và S. Tính độ dài đoạn thẳng IS
A. \(IS = a\) B. \(IS = a\sqrt 2 \)
C. \(IS = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) D. \(IS = \dfrac{a}{2}\)
Phần II. Tự luận (8 điểm)
Câu 1 (2 điểm). Tính các giới hạn sau:
1.1. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{2{x^3} + x + 1}}\)
1.2 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {x + 3} - 3x + 1}}{{{x^2} + x - 2}}\)
Câu 2 (1 điểm). Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3{x^3} - x - 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,khi\,\,\,x \ne 1\\m - 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 1\end{array} \right.\) . Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số đã cho liên tục tại \(x = 1\)
Câu 3 (2 điểm).
3.1. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x \)\(\,+ 12\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right)\) . Giải bất phương trình \(f'\left( x \right) + 4 = 0\)
3.2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3x + 2\) , biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng \(\Delta :x + 6y + 6 = 0\)
Câu 4 (3 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có canh bằng \(a\sqrt 2 ;\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right);\,\,SA = 2a\) . Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SB.
4.1 Chứng minh \(BD \bot \left( {SAC} \right)\)
4.2. Chứng minh \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) và \(\left( {AEC} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)
4.3. Gọi G và K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và ACD. Tính góc giữa đường thẳng GK và mặt phẳng (SAB).
Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào có giới hạn bằng \( + \infty \) ?
A. \({ \({u_n} = \dfrac{{{{\left( {3 - 2n} \right)}^3}}}{{{{\left( {1 - n} \right)}^2}}}\)
B. \({u_n} = \dfrac{{{{\left( {1 - 2n} \right)}^2}.n}}{{2n - 1}}\)
C. \({u_n} = \dfrac{{{{\left( {1 + 2n} \right)}^4}}}{{{{\left( {1 + 7n} \right)}^2}.{n^3}}}\)
D. \({u_n} = \dfrac{{\left( {2n - 1} \right).{n^4}}}{{{{\left( {1 - n} \right)}^3}}}\)
Câu 2:
A. \( - \dfrac{1}{2}\) B. \(\dfrac{3}{2}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \( - 1\)\)
Câu 3: Cho dãy số \({S_n} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + .... + \dfrac{1}{{{3^n}}}\) . Giới hạn \(\lim {S_n}\) bằng:
A. \(\dfrac{1}{2}\) B. \(\dfrac{3}{2}\)
C. \(\dfrac{5}{3}\) D. \(\dfrac{4}{3}\)
Câu 4: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{4 - \sqrt[3]{{3{x^2} + 5}}}}{{x + 1}}\) bằng:
A. \( + \infty \) B. \( - 1\)
C. 1 D. \( - \infty \)
Câu 5: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 - 2x + 3{x^2},\,\,x \ne 2\\m - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,x = 2\end{array} \right.\). Với giá trị nào của tham số \(\;m\) thì hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x = 2\)?
A. 11 B. 9
C. 13 D. 11
Câu 6: Tính\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \dfrac{{x - 3}}{{x + 3}}\)
A. \( - \infty \) B. \( + \infty \)
C. 1 D. -3
Câu 7: Cho hàm số \(y = 3\sqrt {2 - {x^2}} \). Hàm số đã cho liên tục tại điểm
A. \(x = \sqrt 2 \) B. \(x = 3\)
C. \(x = - \sqrt 2 \) D. \(x = - 1\)
Câu 8: \(\lim \left( {3 - 2n + 4{n^3}} \right)\) bằng:
A. \( + \infty \) B. \( - \infty \)
C. 3 D. 4
Câu 9: Cho hàm số \(y = f(x)\). Biểu thức nào sau đây dùng để tính đạo hàm của hàm số trên tại \({{\rm{x}}_0} = 1\)
A. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 1} {\mkern 1mu} \dfrac{{f(1 + \Delta x) - f(1)}}{{\Delta x}}\)
B. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 1} {\mkern 1mu} \dfrac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}\)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\mkern 1mu} \dfrac{{f(1 + \Delta x) - f(1)}}{{\Delta x}}\)
D. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\mkern 1mu} \dfrac{{f(1 + \Delta x) - f(\Delta x)}}{{\Delta x}}\)
Câu 10: Biểu thức nào sau đây là đạo hàm của hàm số \(y = 2{x^4} - 3{x^3} + 4{x^2} - 1\)
A. \(y' = 8{{\rm{x}}^3} - 9{x^2} + 8x\) B. \(y' = 8{{\rm{x}}^3} + 9{x^2} + 8x\) C. \(y' = 8{{\rm{x}}^3} - 9{x^2} - 8x\)
\(y' = 8{{\rm{x}}^3} - 9{x^2} + 8x\)
B. \(y' = 8{{\rm{x}}^3} + 9{x^2} + 8x\)
C. \(y' = 8{{\rm{x}}^3} - 9{x^2} - 8x\)
D. \(y' = - 8{{\rm{x}}^3} - 9{x^2} + 8x\)
Câu 11: Xét hàm số \(y = {\sin ^2}2x\). Biểu thức nào sau đây là đúng
A. \(y + y' = \left( {\sin 2x + 2\cos 2x} \right)\sin 2x\)
B. \(y - y' = \left( {\sin 2x - 2\cos 2x} \right)\sin 2x\)
C. \(y - y' = \left( {\sin 2x - \cos 2x} \right)\sin 2x\)
D. \(y + y' = \left( {\sin 2x + 4\cos 2x} \right)\sin 2x\)
Câu 12: Xét hàm số\(y = \dfrac{{x + 1}}{{2x - 1}}\). Giá trị \(y'(1)\) bằng :
A. \(2\) B. \( - 3\)
C. \(3\) D. \(0\)
Câu 13: Xét chuyển động của vật M xác định bởi phương trình \(s = f(t) = 3{t^2} + 2\sqrt {2t + 1} \)(m) trong đó t là thời gian.Vận tốc tức thời của M tại thời điểm \({t_0} = 4{\rm{s}}\)bằng
A. \(24\dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{m}{s}} \right)\)
B. \(24\dfrac{2}{3}\left( {\dfrac{m}{s}} \right)\)
C. \(\dfrac{{76}}{3}\left( {\dfrac{m}{s}} \right)\)
D. \(24\left( {\dfrac{m}{s}} \right)\)
Câu 14: Xét hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 2\). Tập nghiệm của bất phương trình \(y' \ge 0\) là
A. \(1 \le {\rm{x}} \le 3\)
B. \(R\backslash \left[ {1;3} \right]\)
C. \(\left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
D. \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 1\end{array} \right.\)
Câu 15: Xét hàm số \(y = x + \sqrt {8 - {x^2}} \). Phương trình \(y' = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
A. \(1\) B. \(2\)
C. \(0\) D. \(3\)
Câu 16: Xét hàm số \(y = {{\rm{x}}^2} + 3x + 2\) có đồ thị là (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ \({{\rm{x}}_0} = 0\) có phương trình là:
A. \(3{\rm{x}} + y - 2 = 0\) B. \(y = 3x + 3\)
C. \(y = - 3x - 2\) D. \(3x - y + 2 = 0\)
Câu 17: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = 3{x^2} + 2x + 1\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:y = - 4x + 1\)
A. \(y = - 4x + 2\) B. \(y = - 4x - 3\)
C. \(y = - 4x - 2\) D. \(y = - 4x + 6\)..
Câu 18: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ khi đó véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) bằng véc tơ:
A. \(\overrightarrow {CC'} \)
B. \(\overrightarrow {C'D'} \)
C. \(\overrightarrow {D'C'} \)
D. \(\overrightarrow {A'D'} \)
Câu 19: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ khi đó véc tơ \(\overrightarrow {AD'} \)cùng phương với véc tơ:
A. \(\overrightarrow {C'B} \)
B. \(\overrightarrow {A'A} \)
C. \(\overrightarrow {DC} \)
D. \(\overrightarrow {DA} \)
Câu 20: Cho hình lập phương cạnh\(\;a\). Khi đó góc của ( \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CC'} \) ) bằng
A. \({45^0}\) B. \({0^0}\)
C. \({90^0}\) D. \({180^0}\)
Câu 21: Cho hình chóp \(S.{\rm{ }}ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông và tất cả các cạnh đều bằng\(a\). Khi đó tích vô hướng của \(\overrightarrow {AS} \).\(\overrightarrow {A{\rm{D}}} \) là:
A. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)
B. \({a^2}\)
C. \(0\)
D. \(\dfrac{{{a^2}}}{2}\)
Câu 22: Cho hình lập phương . Khi đó đường thẳng \(AC\) vuông góc với đường thẳng:
A. B.
C. D. \(CD\)\)
Câu 23: Cho hình lập phương khi đó đường thẳng \(AC\) vuông góc với mặt phẳng:
A. B.
C. D.
Câu 24: Cho hình chop\(S.ABCD\). Cặp đường thẳng \(SC\) và đường thẳng nào sau đây chéo nhau:
A. \(AC\) B. \(SB\)
C. \(SA\) D. \(AB\)
Câu 25: Cho hình chóp \(S.{\rm{ }}ABCD\) có \(SH\) là đường cao . Khi đó góc của cạnh bên \(SA\) và mặt đáy là:
A. \(\widehat {SAH}\) B. \(\widehat {SBH}\)
C. \(\widehat {SCH}\) D. \(\widehat {SDH}\)
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 1(1,5 điểm): Tính các giới hạn sau:
a. \(\lim \dfrac{{4{n^2} - 12n + 9}}{{1 - n + 2{n^2}}}\)
b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \dfrac{{3\sqrt {2 - x} - 2}}{{x - 4}}\)
c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} + 5x - 14}}{{{x^2} + 3x - 10}}\)
Câu 2(0,5điểm): Tìm điều kiện của m để hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}}\,khi\,x > 1\\3x + m\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,x \le 1\end{array} \right.\) liên tục tại điểm \(x = 1\)
Câu 3(1điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau
a. \(y = 2{x^3} + 3{x^2} - 4\)
b.\(y = {\cot ^4}\left( {\sqrt {3x - 1} } \right)\)
Câu 4(1,5điểm): Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) và có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\)
a) Chứng minh các mặt hình chóp là các tam giác vuông
b) Gọi \(AH\) là đường cao tam giác\(SAB\). Chứng minh \(AH\) vuông góc mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)
c) Biết \(SC\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) một góc 450, \(SA = a\sqrt 3 \), \(BC = a\sqrt 2 \). Tính góc hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\)
Câu 5(0,5điểm): Xác định \(n\) nguyên dương thỏa mãn:
\(C_{2017}^0 + 2C_{2017}^1 + 3C_{2017}^2 + 4C_{2017}^3 + ....\)\(\,+ 2018C_{2017}^{2017} = {2^{2016}}\left( {2n + 1} \right)\)
Câu 1. Cho hàm số \(y = f(x)\). Đồ thị của hàm số \(y = f'(x)\)như hình vẽ dưới đây. Tìm mệnh đề đúng:
A. Hàm số \(y = f(x)\) có hai cực trị
B. Hàm số \(y = f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x = 2\)
C. Hàm số \(y = f(x)\)chỉ có một cực trị
D. Hàm số \(y = f(x)\)nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\)
Câu 2. Giới hạn \(\lim \sqrt n (\sqrt {n + 4} - \sqrt {n + 3} )\) bằng
A. 0 B.\( + \infty \)
C.\(\dfrac{1}{2}\) D.\(\dfrac{7}{2}\)
Câu 3. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + {x^2} - 3x + 4\) tại điểm \(M\left( {1;1} \right)\) là:
A. –1 B. –4
C. 0 D. –2
Câu 4. Cho hình tứ diện đều ABCD. Thiết diện của tứ diện ABCD và mặt phẳng trung trực của cạnh BC là
A. Hình thang B. Tam giác vuông
C. Hình bình hành D. Tam giác cân
Câu 5. Cho hàm số \(f(x) = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)...\)\(\,(x - 2018)\). Tính\(f'(1)\)
A.\( - 2017!\) B. 0
C. 2017! D. 2018
Câu 6. Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có \({\rm{AA}}' = a,\) khoảng cách giữa hai đường thẳng \({\rm{AA}}'\) và \(CC'\) bằng \(a\sqrt 3 .\) Diện tích tam giác \(ABC\) bằng
A.\({a^2}\sqrt 3 \)
B.\(\dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
C.\(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
D.\(2{a^2}\sqrt 3 \)
Câu 7. Đạo hàm của hàm số \(y = 4\sin 2x + 7\cos 3x + 9\) là:
A.\(8\cos 2x - 21\sin 3x + 9\)
B.\(8\cos 2x - 21\sin 3x\)
C.\(4\cos 2x - 7\sin 3x\)
D.\(4\cos 2x + 7\sin 3x\)
Câu 8. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x + 1}} \\ax + 2 \end{array} \right.\)\(\begin{array}{l}\left( {x > 1} \right)\\(x \le 1)\end{array}\) . Để hàm số liên tục tại \(x = 1\) thì \(a\) nhận giá trị là:
A.\(\dfrac{1}{2}\) B. 1
C.\(\dfrac{{ - 7}}{4}\) D. 0
Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \dfrac{{ - 1}}{3}{x^3} - m{x^2} + (2m - 3)x + 2018\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
A.\(m \le \)
B.\( - 1 \le m \le 1\)
C.\( - 3 \le m \le 1\)
D.\(m \ge 1; \triangleright m \le - 3.\)
Câu 10. Cho số thực \(a, b, c > 0\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \dfrac{{a + b + c}}{{\sqrt[3]{{abc}}}} + \dfrac{{\sqrt[3]{{abc}}}}{{a + b + c}}\) là
A. 2
B.\(\dfrac{{10}}{3}\)
C.\(\dfrac{5}{2}\)
D. 3
Câu 11. Tìm mệnh đề sai? Trong không gian
A. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng.
B. Hai mặt phẳng cắt nhau và vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó song song với nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song song với nhau.
Câu 12. Biết đồ thị hàm số \(f(x) = {x^3} - 3x + 1\) có hai điểm cực trị là A và B. Phương trình đường thẳng AB là:
A.\(y = - 2x + 1\) B.\(y = 2x - 1\)
C.\(y = x - 2\) D.\(y = - x + 2\)
Câu 13. Biết rằng\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} + x\sqrt 2 ) = \dfrac{a}{b}\sqrt 2 .\)\((a, b \in \mathbb{Z},\dfrac{a}{b}\)tối giản). Tổng \(a + b\) có gá trị là
A. 1 B. 5
C. 4 D. 7
Câu 14. Cho hình chóp \(S.ABC\) đều, G là trọng tâm tam giác \(ABC\). Biết rằng \(AG = AB = a.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(GC\) bằng
A.\(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\)
B.\(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{5}\)
C.\(\dfrac{a}{2}\)
D.\(a\)
Câu 15. Chọn mệnh đề sai?
A. Phương trình \({x^{2019}} - x + 1 = 0\) luôn có nghiệm.
B. Phương trình \(\dfrac{1}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} - \dfrac{1}{{\cos x}} = m\) vô nghiệm \(\forall m\).
C. Phương trình \({x^5} - {x^2} - 3 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \((0;2)\)
D. Phương trình \(2\sin x + 3{\mathop{\rm cosx}\nolimits} = 4\) vô nghiệm.
Câu 16. Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} \triangleright (C).\) Phường trình tiếp tuyến của \((C)\) song song với trục hoành là:
A.\(y = 1\) B.\(y = 0\)
C.\(y = - 1\) D.\(y = x\)
Câu 17. Hàm số nào trong các hàm số dưới đây nghịch biến trên \(\mathbb{R}\mathbb{R}\)?
A.\(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\)
B.\(y = - {x^4} - {x^2} - 1\)
C.\(y = - {x^3} + {x^2} - 3x + 11\)
D.\(y = \cot x\)
Câu 18. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số\(y = \dfrac{{x + 4}}{{x - 2}}\)tại giao điểm của đồ thị với trục tung là:
A.\(y = - \dfrac{1}{6}x + \dfrac{2}{3}\)
B.\(y = - \dfrac{3}{2} - 2\)
C.\(y = \dfrac{3}{2} - 2\)
D.\(y = - \dfrac{3}{2} + 2\)
Câu 19. Biết rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{x - 2}}{\rm{ + ax - b}}} \right) = - 5.\) Tính tổng \(a + b\)?
A. 6 B. 7
C. 8 D. 5
Câu 20. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên dưới đây. Tìm khẳng định đúng.
A. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\)
B. Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\)
C. Hàm số đạt cực đại tại \(x = 3\)
D. Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\)
Câu 21. Tứ diện \(OAB\) có \(OA = OB = OC\) và đôi một vuông góc. Tan của góc giữa đường thẳng \(OA\) và mặt phẳng \((ABC)\) bằng
A. 2 B.\(\sqrt 2 \)
C. 1 D.\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Câu 22. Hàm số nào dưới đây chỉ có cực tiểu mà không có cực đại?
A.\(y = - {x^4} + {x^2}\)
B.\(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
C.\(y = {x^4} + 1\)
D.\(y = {x^3} + {x^2} + 2x - 1\)
Câu 23. Cho hình chóp \(S.ABCD\) đều. Gọi H là trung điểm của cạnh AC. Tìm mệnh đề sai?
A.\((SAC) \bot (SBD)\)
B.\(SH \bot (ABCD)\)
C.\((SBD) \bot (ABCD)\)
D.\(CD \bot (SAD)\)
Câu 24. Giới hạn \(\lim \dfrac{{\sqrt {1 + 5 + ... + (4n - 3)} }}{{2n - 1}}\) bằng
A. 1 B.\( + \infty \)
C.\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) D. 0
Câu 25. Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 3m \triangleright ({C_m}).\)Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để \(({C_m})\)có ba điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực tieur của \(({C_m})\)nhỏ hơn 4?
A. 3 B. Vô số
C. 4 D. 1
Câu 26. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}{{x - 3}}\,\,khi\,\,\,x \ne 3\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 3\end{array} \right.\) . Tìm giá trị của m để hàm số đã cho liên tục tại \(x = 3?\)
A.\(m = 1\) B.\(m = 2\)
C.\(m = 3\) D.\(m = 0\)
Câu 27. Đường thẳng \(y = {\rm{ax}} - b\) tiếp xúc với đồ thị hàm số \({x^3} + 2{x^2} - x + 2\) tại điểm \(M(1;0)\). Tích \(ab\) có giá trị là;
A.\(ab = - 36\) B.\(ab = - 5\)
C.\(ab = 36\) D.\(ab = - 6\)
Câu 28. Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x(1 - {x^2})\) trên khoảng \((0;1)\) là
A.\(\dfrac{1}{9}\)
B.\(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
C. 0
D.\(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{9}\)
Câu 29. Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) là
A.\(\dfrac{{1 - 3x}}{{({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
B.\(\dfrac{{1 + 3x}}{{({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
C.\(\dfrac{{1 - 3x}}{{{x^2} + 1}}\)
D.\(\dfrac{{2{x^2} - x - 1}}{{({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Câu 30. Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{3{x^2} - 2x - 5}}{{{x^2} - 1}}\) bằng
A. 3 B.\( + \infty \)
C. 0 D. 4
Câu 31. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm là hàm số\(f'(x) = (x - 1){(x - 2)^2}{(x - 3)^3}{(x - 4)^4}.\) Hỏi hàm số \(y = f(x)\)có mấy điểm cực trị?
A. 1 B. 3
C. 4 D. 2
Câu 32. Cho chuyển động thảng xác định bởi phương trình \(s(t) = 2{t^3} - 3{t^2} + 4t\), trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm gia tốc bằng 0 là
A.\( - 2,5m/s.\) B.\(4m/s.\)
C.\(2,5m/s.\) D.\(8,5m/s.\)
Câu 33. Tìm mệnh đề đúng?
A. Hình chóp đều có tất cả các cạnh bằng nhau
B. Hình lập phương có 6 mặt là hình vuông
C. Hình hộp có đáy là hình chữ nhật
D. Hình lăng trụ đều có đáy là tam giác đều
Câu 34. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'.\) Góc giữa hai đường thẳng \(CD'\) và \(AC'\) bằng
A.\({30^0}\) B.\({90^0}\)
C.\({60^0}\) D.\({45^0}\)
Câu 35. Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\cos 3x - c{\rm{os}}7x}}{{{x^2}}}\) bằng
A. 40 B. 0
C. –4 D. 20
Câu 36. Tứ diện đều có góc tạo bởi hai góc đối diện bằng
A.\({90^0}\) B.\({60^0}\)
C.\({30^0}\) D.\({45^0}\)
Câu 37. Tứ diện \(ABCD\) đều. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm mệnh đề sai?
A. Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng \((BCD)\) là góc
B.\(AB \bot CD\)
C.\(AG \bot (BCD)\)
D. + + = 3
Câu 38. Hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng nhau. Cosin của góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng
A.\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)
C.\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
D.\(\dfrac{1}{2}\)
Câu 39. Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA = a, \triangleright SA \bot (ABCD).\)Khoagr cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng
A. 2a B. a
C.\(a\sqrt 2 \) D.\(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Câu 40. Tìm mệnh đề đúng? Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng
A. Độ dài đoạn thẳng nối một điểm của đường thẳng này với một điểm của đường thẳng kia.
B. Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
C. Khoảng cách từ một điểm của đường này tới mặt phẳng chứa đường kia.
D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của a để \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 4n + 7} + a - n} \right) = 0\)?
A. 3 B. 1
C. 2 D. 0
Câu 42. Hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại B, \(AC = a\sqrt 2 \). Tam giác \(SAC\) vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Khoảng cách từ điểm A đến mặt \((SBC)\) bằng
A.\(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
B.\(a\)
C.\(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)
D.\(\dfrac{a}{2}\)
Câu 43. Giá trịn nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x + 4}}{{x - 2}}\) trên đoạn \(\left[ {3;4} \right]\) là
A. 7 B. –6
C. 3 D. 4
Câu 44. Hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh a. Tính độ dài véc tơ = + theo \(a\).
A.\(a\sqrt 2 \) B.\((1 + \sqrt 3 )a\)
C.\(a\sqrt 6 \) D.\(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
Câu 45. Thể tích của tứ diện đều cạnh a bằng
A.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
B.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
C.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\)
D.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
Câu 46. Lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = 2a\), góc giữa hai mặt phẳng \((C'AB)\) và \((CAB)\) bằng \({60^0}\). Thể tích của khối lăng trụ đó bằng
A.\(3{a^3}\sqrt 3 \)
B.\({a^3}\sqrt 3 \)
C.\(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
D.\(\dfrac{{9{a^3}}}{8}\)
Câu 47. Cho tứ diện \(S.ABC\) có \(SA = Sb = SC = AB = AC = a\sqrt 2 .\) Góc giữa hai đường thẳng \(SA\) vad \(SC\) bằng
A. 00 B. 1200
C. 600 D. 900
Câu 48. Hàm số \(y = {x^3} - 3x + 4\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A.\(\left( { - 2;2} \right)\)
B.\(\left( {0;2} \right)\)
C.\(\left( { - 3; - 2} \right)\)
D.\(\left( { - 1;1} \right)\)
Câu 49. Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}.\) Tính \(y'(3)\)
A.\(\dfrac{5}{2}\) B.\( - \dfrac{3}{4}\)
C.\( - \dfrac{3}{2}\) D.\(\dfrac{3}{4}\)
Câu 50. Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 40cm và 60cm người ta cắt bỏ bốn hình vuông ở bốn góc để gập lại được một cái hộp không nắp.
Để thể tích hộp lớn nhất thì cạnh của hình vuông cắt bỏ có giá trị gần với
A. 7.85cm B. 15cm
C. 3,92cm D. 12cm
I.PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Trong các tam giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông?
A. \(\Delta {\rm{SBC}}\) B. \(\Delta {\rm{SAB}}\)
C. \(\Delta {\rm{SCD}}\) D. \(\Delta {\rm{SBD}}\)
Câu 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
A. \(\dfrac{{\sqrt {2{n^2} - 1} }}{{5n + 3{n^2}}}\)
B. \(\dfrac{{1 - 2{n^2}}}{{5n + 3{n^2}}}\)
C. \({u_n} = \dfrac{{{n^2} - 2n}}{{5n + 3}}\)
D. \({u_n} = \dfrac{{{n^2} - 2}}{{\sqrt {1 + 3{n^2}} }}\)
Câu 3: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số \(f(x) = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) gián đoạn tại \(x = 1\)
B. Hàm số \(f(x) = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\)liên tục trên \(R\)
C. Hàm số \(f(x) = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}}\) liên tục trên\(R\)
D. Hàm số \(f(x) = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) liên tục trên \((0;2)\)
Câu 4: Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{2x + 3}}{{1 - x}}\) là:
A. \( - \infty \) B. \(2\)
C. \( + \infty \) D. \( - 2\)
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. \(SO \bot (ABCD)\)
B. \(BD \bot (SAC)\)
C. \(AC \bot (SBD)\)
D. \(AB \bot (SAD)\)
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. \((SCD) \bot (SAD)\)
B. \((SBC) \bot (SAC)\)
C. \((SDC) \bot (SAC)\)
D. \((SBD) \bot (SAC)\)
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \((SAB) \bot (ABC)\), SA = SB , I là trung điểm AB. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Góc giữa \(SC\)và \((ABC)\)là \(\widehat {SCI}\)
B. \(SI \bot (ABC)\)
C. \(AC \bot (SAB)\)
D. \(AB \bot (SAC)\)
Câu 8: Một chất điểm chuyểnđộng có phương trình\(s = {t^3} + 3t\)(t tính bằng giây, s tính bằng mét) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm \({t_0} = 2\) (giây) ?
A. \(15m/s\) B. \(7m/s\)
C. \(14m/s\) D. \(12m/s\)
Câu 9: Cho một hàm số f(x). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Nếu \(f(a)f(b) < 0\) thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng \((a,b)\).
B. Nếu hàm số f(x) liên tục, đồng biến trên đoạn [a; b] và f(a).(b)>0 thì phương trình f(x)=0 không có nghiệm trong khoảng (a; b).
C. Nếu f(x) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right],f(a).f(b) < 0\) thì phương trình f(x)=0 không có nghiệm trên khoảng \((a;b)\).
D. Nếu phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (a; b) thì hàm số f(x) phải liên tục trên khoảng \((a;b)\)
Câu 10: \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 3n} - \sqrt {{n^2} + 2} } \right) = \dfrac{a}{b}\) (\(a,b \in Z\) và \(\dfrac{a}{b}\) tối giản) thì tổng \({a^2} + {b^2}\) là :
A. 10 B. 3
C. 13 D. 20
Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và H là hình chiếu vuông góc của S lên BC. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(AC \bot SH\) B. \(BC \bot SC\)
C. \(AB \bot SH\) D. \(BC \bot AH\)
Câu 12: Hàm số\(y = \dfrac{{x + 6}}{{x + 9}}\) có đạo hàm là:
A. \(\dfrac{3}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}}\)
B. \( - \dfrac{3}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}}\)
C. \(\dfrac{{15}}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}}\)
D. \( - \dfrac{{15}}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}}\)
Câu 13: Cho hàm số \(f(x) = \dfrac{{a{x^2} + 4x + 3}}{{3x - 2a{x^2}}},(a \in R,a \ne 0)\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\) bằng:
A. \(\dfrac{a}{3}\) B. \( - \dfrac{1}{2}\)
C. \( + \infty \) D. \( - \infty \)
Câu 14: . Hàm số\(y = {x^3} + 2{x^2} + \dfrac{{x + 4}}{2}\) có đạo hàm là:
A.\(y' = 3{x^2} + 4x + \dfrac{1}{4}\)
B. \(y' = 3{x^2} + 4x + 4\).
C.\(y' = 3{x^2} + 4x + \dfrac{1}{2}\)
D. \(y' = 3{x^2} + 4x + 2\)
Câu 15: Cho hàm số \(y = \sqrt {3x - 2} \). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2}\) là:
A. \(y = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2}\)
B. \(y = \dfrac{3}{2}x - 1\)
C. \(y = \dfrac{3}{2}x + 1\)
D. \(y = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{3}{2}\)
Câu 16: Trong các dãy số sau, dãy số nào có giới hạn hữu hạn?
A. \({u_n} = \dfrac{{{n^3} - 2n + 3}}{{\sqrt {{n^4} + 4} }}\)
B. \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 2n} - n\)
C. \({u_n} = \dfrac{{3{n^4} - 1}}{{\sqrt {{n^6} + 2} }}\)
D. \({u_n} = \dfrac{{2{n^3} - n}}{{{n^2} - 2}}\)
Câu 17: Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 + \dfrac{3}{x}}}{{4 - \dfrac{1}{x}}}\) là:
A. \(\dfrac{1}{2}\) B. \(3\)
C. \(\dfrac{3}{4}\) D. \( - 3\)
Câu 18: Phương trình \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \dfrac{{2\sqrt {t + 3} - 4}}{{t - 1}}\), có nghiệm \(x \in (0;\dfrac{\pi }{2})\) là
A. \(\dfrac{\pi }{6}\) B. vô nghiệm
C. \({30^0}\) D. \(\dfrac{1}{2}\)
Câu 19: Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2x}}{{a + x}} = 2\), khi đó \(a\) có giá trị là:
A. \(1\)
B. Không tồn tại
C. \(\forall a \in R\)
D. \(0\)
Câu 20: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực R thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = 3\). Kết quả nào sau đây là đúng?
A. \(f'\left( 3 \right) = 2\) B. \(f'\left( 2 \right) = 3\)
C. \(f'\left( x \right) = 3\) D. \(f'\left( x \right) = 2\)
Câu 21: Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {\sin 3x} \) là :
A. \(\dfrac{{3\cos 3x}}{{2\sqrt {\sin 3x} }}.\)
B. \(\dfrac{{\cos 3x}}{{2\sqrt {\sin 3x} }}.\)
C. \(\dfrac{{ - \cos 3x}}{{2\sqrt {\sin 3x} }}.\)
D. \(\dfrac{{ - 3\cos 3x}}{{2\sqrt {\sin 3x} }}.\)
Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có cạnh SA =\(a\sqrt 2 \) và SA vuông góc với mp(ABCD). Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) là:
A. \({\rm{4}}{{\rm{5}}^0}\)\(\) B. \({\rm{3}}{0^0}\)
C. \({\rm{6}}{0^0}\) D. \({\rm{9}}{0^0}\)
Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy tâm O và M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. \((SBD) \bot (SAC)\)
B. Góc giữa \((SBC)\)và \((ABCD)\)là \(\widehat {SMO}\)
C. Góc giữa \((SCD)\)và \((ABCD)\)là \(\widehat {NSO}\)
D. \((SMO) \bot (SNO)\)
Câu 24:Cho hàm số \(y = f(x) = {\cos ^2}x + m\sin x\) có đồ thị (C). Giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ \(x = \pi \) vuông góc với đường thẳng \(y = - x\) là:
A. Không tồn tại. B. \(0\).
C. \(1\). D. \( - 1\).
Câu 25: Hàm số \(y = \cos x - \sin x + 2x\) có đạo hàm là:
A. \( - \sin x + \cos x + 2\)
B. \(\sin x - \cos x + 2\).
C. \( - \sin x - \cos x + 2\).
D. \( - \sin x - \cos x + 2x\).
II.PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)
Câu 1 (1 điểm). Cho hàm số \(y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + 2m{x^2} - 3mx + 2\sqrt 2 \) , m là tham số.
a)Giải bất phương trình \(y' > 0\) khi \(m = 1\).
b)Tìm điều kiện của tham số\(m\) để \(y' \le 0,\forall x \in R\) .
Câu 2(0,75 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + x\) tại điểm có hoành độ là 1.
Câu 3(1,25 điểm ). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh \(a\). Biết SA = SC, SB = SD, SO =\(\dfrac{{3a}}{4}\) và \(\widehat {ABC} = {60^0}\). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC.
a)Chứng minh \(SO \bot \left( {ABCD} \right),\,\,(SAC) \bot \left( {SBD} \right)\).
b). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và IJ.
c) Tính góc giữa (SIJ) và mặt phẳng (SAC).
Câu 1: Tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:
A. \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^n} - 1\).
B. \(\left( {{x^n}} \right)' = \left( {n - 1} \right){x^n}\).
C. \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^n}\).
D. \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).
Câu 2: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\,\,khi\,\,\,x \ne 2\\2m - 2\,\,khi\,\,x = 2\end{array} \right.\) . Hàm số đã cho liên tục tại thì giá trị của tham số bằng
A. 5. B. 2.
C. 3. D. 4.
Câu 3: Số gia của hàm số \(f(x) = - {x^2} + x\) ứng với \({x_0} = 1\) và \(\Delta x = - 0,1\) là
A. \(\dfrac{9}{{1000}}\). B. \(\dfrac{9}{{100}}\).
C. \(\dfrac{1}{{10}}\). D. \(\dfrac{{99}}{{100}}\).
Câu 4: Tìm giới hạn \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{x + 1}}\)?
A. \(\dfrac{1}{2}\). B. \( + \infty \).
C. \(1\). D. \( - \infty \).
Câu 5: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA\) vuông góc với đáy. \(H,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(SC,SD\). Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. \(AH \bot (SCD)\).
B. \(AK \bot (SCD)\).
C. \(BD \bot (SAC)\).
D. \(BC \bot (SAC)\).
Câu 6: Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {5 - x} - \sqrt[3]{{{x^2} + 7}}}}{{{x^2} - 1}}\)bằng
A. \( - \dfrac{5}{{24}}\). B. \( - \dfrac{1}{5}\).
C. \(0\). D. \( - \dfrac{1}{{12}}\).
Câu 7: Giả sử \({\left( {\dfrac{{{x^2} - x + 3}}{{x + 2}}} \right)^\prime } = \dfrac{{a + bx + c{x^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\), với \(a,b,c \in Z\). Tính \(S = a + {b^2} - c\) ?
A. \(S = - 5\). B. \(S = 7\).
C. \(S = 0\). D. \(S = 10\).
Câu 8: Cho hàm số \(y = (2m + 3)\sin x - (m - 1)x\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(y' = 0\) có nghiệm.
A. \(m \le - 4\) hoặc \(m \ge - \dfrac{2}{3}\).
B. \(m < - 4\).
C. \( - 4 \le m \le - \dfrac{2}{3}\).
D. \( - \dfrac{3}{2} \le m \le 1\).
Câu 9: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào đúng (\(c \in R,\,k\) nguyên dương)?
A. \(\lim {q^n} = + \infty ,\,\left| q \right| < 1\).
B. lim2017=0.
C. \(\lim \dfrac{{{n^k}}}{c} = + \infty \).
D. \(\lim \dfrac{c}{{{n^k}}} = 0\).
Câu 10: Cho hàm số \(f(x) = {x^3} - {x^2} - 3x\). Giá trị \(f'( - 1)\) bằng bao nhiêu?
A. 0. B. \( - 2\).
C. \( - 1\). D. \(2\).
Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos 64x} } } \), với mọi \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{{64}}} \right)\)
A. \(y' = - \dfrac{1}{8}\sin \dfrac{x}{8}\).
B. \(y' = - 8\sin 8x\).
C. \(y' = - \dfrac{1}{8}\sin 8x\).
D. \(y' = - 8\sin \dfrac{x}{8}\).
Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và cạnh bên bằng \(\sqrt 2 \,a\). Gọi \(O\) là tâm của đáy \(ABCD\), \(M\) là trung điểm \(AB\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((SCD)\)bằng
A. \(\dfrac{{a\sqrt {42} }}{{14}}\). B. \(\dfrac{{a\sqrt {210} }}{{15}}\).
C. \(\dfrac{{a\sqrt {210} }}{{30}}\). D. \(\dfrac{{a\sqrt {42} }}{7}\).
Câu 13: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai (\(c\)hằng số, \(k\) nguyên dương):
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^k}}}{c} = + \infty \). B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c\).
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0\). D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } c = c\).
Câu 14: Một chiếc xe chuyển động được quãng đường \(s\) được cho bởi công thức \(s = 4\,{t^2}\,(m)\), \(t\) tính theo giây \((s)\). Hỏi vận tốc của xe khi \(t = 10s\)?
A. \(80m/s\). B. \(400m/s\).
C. \(9,8m/s\). D. \(40m/s\).
Câu 15: Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(3a\). Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\). Khoảng cách giữa \(AD\) và \(BC\) là :
A. \(\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\). B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
C. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\). D. \(\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Câu 16: Cho hình hộp . Mặt phẳng song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau :
A. \((A'BD)\). B. \((C'BD)\).
C. \((BCD)\). D. \((B'D'C)\).
Câu 17: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\sqrt {x - 1} }} + 2\;\;khi\,{\rm{ }}x > 1\\3{x^2} + x - 1{\rm{ }}\,{\rm{khi}}\,\,\,x \le 1\end{array} \right.\) . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số xác định trên \(R\).
B. \(f(1) = 3\).
C. Hàm số liên tục tại \(x = 1\).
D. Hàm số không liên tục tại \(x = 1\).
Câu 18: Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) cắt nhau. Qua điểm \(M\) cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng đồng thời vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\)?
A. 2. B. vô số.
C. 0. D. 1.
Câu 19: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2x}},\,khi\,x > 0\\k + 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x \le 0\end{array} \right.\), với \(k \in R\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
A. Không có giá trị nào của \(k\) để hàm số liên tục trên \(R\).
B. Nếu \(k = - 1\) thì hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x = 0\).
C. Với mọi giá trị của \(k \in R\) thì hàm số đều liên tục tại điểm \(x = 0\).
D. Nếu \(k = 1\) thì hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x = 0\).
Câu 20: Xác định giá trị tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + ({m^2} - 10){x^2}\)\(\, - (m - 2)x + 2017\) có \(f'(1) = 0\) và . Giá trị \(m\) thuộc tập:
A. \(\left[ { - 2;0} \right)\). B. \(\left[ {2;4} \right)\).
C. \(\left[ { - 4; - 2} \right)\). D. \(\left[ {0;2} \right)\).
Câu 21: Số gia của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {3x + 1} \) ứng với số gia\(\Delta x\)của đối số \(x\) tại\({x_0} = 5\) là:
A. \(\sqrt {4 + \Delta x} - 2\).
B. \(\sqrt {5 + 3\Delta x} - 4\).
C. \(\sqrt {4 + 2\Delta x} - 2\).
D. \(\sqrt {16 + 3\Delta x} - 4\).
Câu 22: Giới hạn \(\lim \dfrac{{n! + 2(n + 2)!}}{{4n(n + 1)! + 6.n!}}\) bằng:
A. \(\dfrac{1}{2}\). B. \(3\).
C. \(\dfrac{1}{4}\). D. \(\dfrac{3}{4}\).
Câu 23: Tính tổng \(S = \dfrac{5}{3} - \dfrac{5}{9} + \dfrac{5}{{27}} - \dfrac{5}{{81}} + ...\) thu được kết quả:
A. \(S = \dfrac{5}{4}\). B. \(S = \dfrac{{100}}{{81}}\).
C. \(S = \dfrac{1}{4}\). D. \(S = \dfrac{1}{3}\).
Câu 24: Cho tứ diện đều cạnh . Điểm \(M\) là trung điểm của . Số đo của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {CM} \) và \(\overrightarrow {CB} \) bằng
A. \({45^0}\). B. \({30^0}\).
C. \({60^0}\). D. \({90^0}\).
Câu 25: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x + {\cos ^6}x\). Giá trị của\(f'\left( {2017} \right)\) là:
A. 1. B. 0.
C. 3. D. 2.
Câu 26: Vi phân của hàm số \(y = {x^2}\) là
A. \(dy = \dfrac{{{x^3}}}{3}dx\). B. \(dy = xdx\).
C. \(dy = 2dx\). D. \(dy = 2xdx\) .
Câu 27: Trong các hàm số sau, hàm số nào không liên tục trên R:
A. \(f(x) = \sqrt {4{x^2} - 8x + 12} \).
B. \(f(x) = \dfrac{{x + 3}}{{{x^2} + 4}}\).
C. \(f(x) = 2{x^2} + 6x - 5\).
D. \(f(x) = \sqrt {4{x^2} - 8x - 12} \).
Câu 28: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng \(3a\). Giá trị sin của góc giữa một mặt bên và mặt đáy bằng
A. \(\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\). B. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).
C. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\). D. \(\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Câu 29: Giá trị của \(N = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 3{n^2} + 1}} - n} \right)\) bằng:
A. 0. B. \( + \infty \).
C. \( - \infty \). D. 1.
Câu 30: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O\), \(SA\) vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng \(SD\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng góc:
A. \(SOA\). B. \(SAD\).
C. \(SDA\). D. \(DSA\).
Câu 31: Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(3a\), O là tâm của đáy \(BCD\), độ dài hình chiếu của \(AB\) trên \(\left( {BCD} \right)\)bằng
A. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\). B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). D. \(a\sqrt 3 \).
Câu 32: Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng
A. \({45^0}\). B. \({90^0}\).
C. \({60^0}\). D. \({30^0}\).
Câu 33: Đạo hàm nào sau đây đúng:
A. \(\left( {\sin x} \right)' = - \cos x\).
B. \(\left( {\cot x} \right)' = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
C. \(\left( {\tan x} \right)' = - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
D. \(\left( {\cos x} \right)' = \sin x\).
Câu 34: Tìm giới hạn \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - 4x + 3}}\):
A. \( + \infty \). B. 1.
C. \(\dfrac{3}{2}\). D. \( + \infty \).
Câu 35: Đạo hàm hàm số \(y = \sqrt {{x^{2017}} - 30{x^4}} \) là:
A. \(y' = \dfrac{{2017{x^{2016}} + 120{x^3}}}{{\sqrt {{x^{2017}} + 30{x^4}} }}\).
B. \(y' = - \dfrac{{2017x - 120{x^3}}}{{2\sqrt {{x^{2017}} - 30{x^4}} }}\).
C. \(y' = \dfrac{{2017{x^{2016}} - 120{x^3}}}{{2\sqrt {{x^{2017}} - 30{x^4}} }}\).
D. \(y' = \dfrac{{2017{x^{2016}} - 60{x^3}}}{{\sqrt {x - 30{x^4}} }}\).
Câu 36: Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} + 5}}{{x - 2}}\) bằng:
A. \(0\). B. \( - \infty \).
C. \( + \infty \). D. \( - 899999996\).
Câu 37: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có kết quả bằng \( - \infty \)?
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2{x^3} - 3{x^2} + 1} \right)\).
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{3{x^4} - 2{x^2} + 5}}{{x + 3}}\).
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2x - 1}}{{{x^2} + 3}}\).
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).
Câu 38: Giới hạn \(\lim \dfrac{{6{n^2} - 7n + 10}}{{5 - 3{n^2}}}\) bằng:
A. \(6\). B. \(2\)
C. \( - 3\). D. \( - 2\).
Câu 39: Vi phân của hàm số \(y = \tan 3x\) là biểu thức nào sau đây?
A. \( - \dfrac{3}{{{{\cos }^2}3x}}dx\).
B. \(\dfrac{{3x}}{{{{\cos }^2}3x}}dx\).
C. \(\dfrac{3}{{{{\cos }^2}3x}}dx\).
D. \( - \dfrac{3}{{si{n^2}3x}}dx\).
Câu 40: Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = {a^2}\).
B. \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \).
C. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} \).
D. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\).
Câu 41: Tìm tất cả các giá trị tham số \(m\)để hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^3} - 3\left( {m + 2} \right){x^2}\)\(\, - 6\left( {m + 2} \right)x + 1\) có \(y' \le 0,\,\forall x \in R\).
A. \( - 2 \le m \le 0\).
B. \( - 2 \le m \le 1\).
C. không có giá trị nào.
D. \(m < 4\).
Câu 42: Cho hàm số \(g(x) = \dfrac{{\sqrt {2x + 2} - \sqrt {3x + 1} }}{{m{x^2} - m}}\), \(m \ne 0\) và \(f(x) = \dfrac{{8{x^{2016}} - 24{x^{2015}}}}{{{x^{2017}} + 2{x^{2016}} - 15{x^{2015}}}}\). Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x)\) khi giá trị tham số \(m\) bằng
A. \( - \dfrac{1}{8}\). B. \(\dfrac{1}{{64}}\).
C. \( - \dfrac{1}{{64}}\). D. 8.
Câu 43: Hàm số \(y = 2\sin \left( {{x^2} + 2} \right)\) có đạo hàm \(y'\):
A. \(y' = 2x\cos ({x^2} + 2)\).
B. \(y' = 4x\cos ({x^2} + 2)\).
C. \(y' = x\cos ({x^2} + 2)\).
D. \(y' = 4\cos ({x^2} + 2)\).
Câu 44: Đạo hàm của hàm số \(y = {x^2}\cos x\)là:
A. \(y' = 2x\cos x - {x^2}\sin x\).
B. \(y' = - 2x\cos x + {x^2}\sin x\).
C. \(y' = 2x\cos x + {x^2}\sin x\).
D. \(y' = - 2x\cos x - {x^2}\sin x\).
Câu 45: Tiếp tuyến với đồ thị \(y = {x^3} - 2{x^2} + 16x - 48\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 2\) có phương trình là:
A. \(y = 20x + 24\). B. \(y = 20x - 56\).
C. \(y = 20x + 14\). D. \(y = 4x - 8\).
Câu 46: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA\) vuông góc với đáy, \(AB = a\), \(AD = a\sqrt 3 \), \(SA = a\). Số đo góc giữa \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng:
A. \({90^0}\). B. \({30^0}\).
C. \({60^0}\). D. \({45^0}\).
Câu 47: Cho hình hộp . Các vectơ đối của vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp là:
A. \(\overrightarrow {A'C'} ,\,\overrightarrow {BD} ,\,\overrightarrow {CA} \).
B. \(\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {A'C'} \).
C. \(\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {C'A'} \).
D. \(\overrightarrow {C'A'} \).
Câu 48: Cho hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + 1\) . Nếu đặt \(M = {x^2}y'' + xy' - 9y - 10{x^2} + 10\), thì ta có
A. \(M = - 1\). B. \(M = 2\).
C. \(M = 1\). D. \(M = 0\).
Câu 49: Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, cạnh \(SA\) vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây sai:
A. \(BC \bot (SAB)\). B. \(CD \bot SD\).
C. \(AC \bot \left( {SBD} \right)\). D. \(SA \bot BC\).
Câu 50: Cho hình hộp . Hình chiếu song song của đoạn trên theo phương là:
A. điểm . B. đoạn .
C. đoạn . D. đường thẳng .
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2 điểm)
Câu 1: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
A. \({\left( {\dfrac{5}{3}} \right)^n}\) B. \({\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^n}\)
C. \({\left( { - \dfrac{5}{3}} \right)^n}\) D. \({\left( { - \dfrac{4}{3}} \right)^n}\)
Câu 2: Kết quả \(\lim \left( {5n - 3{n^3}} \right)\) bằng bao nhiêu ?
A. \( - \infty \) B. – 4
C. – 6 D. \( + \infty \)
Câu 3: Kết quả \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{2x - 4}}\) bằng bao nhiêu ?
A. \( + \infty \) B. \(\dfrac{3}{2}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\) D. \( - \dfrac{1}{2}\)
Câu 4. Kết quả \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^2} - x + 2}}{{{x^3} + 2x - 2}}\) bằng bao nhiêu ?
A. \( + \infty \) B. \(6\)
C. 0 D. \( - 1\)
Câu 5: Số gia của hàm số \(y = {x^3}\), ứng với: \({x_o} = 2\) và \(\Delta x = 1\) là:
A. 19 B. -7
C. 7 D. 0
Câu 6: Vi phân của hàm số \(y = \sin 3x\) là:
A. \(dy = - 3\cos 3x.dx\)
B. \(dy = 3\sin 3x.dx\)
C. \(dy = 3\cos 3x.dx\)
D. \(dy = - 3\sin 3x.dx\)
Câu 7: Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {2x + 3} \) là:
A. \(\dfrac{{2x + 3}}{{2\sqrt {2x + 3} }}\) B. \(2\sqrt {2x + 3} \)
C. \(\dfrac{1}{{2\sqrt {2x + 3} }}\) D. \(\dfrac{1}{{\sqrt {2x + 3} }}\)
Câu 8: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 2017\) tại điểm \(M\left( { - 2;2009} \right)\) có hệ số góc bằng bao nhiêu?
A. 12 B. -12
C. 192 D. -192
Câu 9: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ có giá song song đường thẳng đó.
B. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ đi qua một điểm.
C. Hai đường thẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \({90^0}.\)
D. Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì cắt nhau.
Câu 10: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Giữa hai mặt phẳng bất kì trong không gian có 4 vị trí tương đối
B. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
C. Giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian có 3 vị trí tương đối
D. Nếu một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
B. PHẦN TỰ LUẬN (8 điểm)
Câu 1 (1,0 điểm). Tính các giới hạn sau
a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{2 - x}}{{\sqrt {x + 7} - 3}}\)
b. \( \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\sqrt {4x + 8} - \sqrt[3]{{4{x^2} + 20x + 24}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
Câu 2 (1.0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số
\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x - 1}}{\rm{ }} khi{\rm{ }}x > 1\\3x{\rm{ + 1 }} khi{\rm{ }}x \le 1\end{array} \right.\) tại \(x = 1\)
Câu 3: (2,0 điểm)
a. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{5}\). Giải bất phương trình
b. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x + x - 12\). Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\)
Câu 4 (1 điểm)
Gọi ( C) là đồ thị hàm số : \(y = {x^3} + 4x + 2\). Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y = - \dfrac{1}{7}x - 4\)
Câu 5 (3,0 điểm).
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) trùng với trung điểm H của AB. Cạnh bên SA bằng \(a\sqrt 5 \)
a. Chứng minh rằng (SAD) vuông góc với (SAB).
b. Tính khoảng cách giữa AB và (SCD)
c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC
