a) Xét hàm số: \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\)
+) Tập xác định: \(D=R.\)
+) Sự biến thiên:
Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}-6x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right..\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( \infty ;0 \right)\) và \(\left( 2;+\infty \right)\); hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;\ 2 \right).\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\ \ {{y}_{CD}}=5.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2;\ \ {{y}_{CT}}=1.\)
+) Giới hạn: \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty ;\ \ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty .\)
Bảng biến thiên:
+) Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm \(\left( 0;\ 5 \right).\)
Số nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5=0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\) và trục hoành.
Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) \(-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0.\)
Ta có: \(Pt\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-2.\)
Xét hàm số: \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}.\)
Tập xác định: \(D=R.\)
Ta có: \(y'=6{{x}^{2}}-6x\) \(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-6x=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right..\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\ 0 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right);\) nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;\ 1 \right).\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\ \ {{y}_{CD}}=0.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1;\ {{y}_{CT}}=-1.\)
Giới hạn: \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty ;\ \ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty .\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Số nghiệm của phương trình \(-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) và đường thẳng \(y=-2.\)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y=-2\) cắt đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) tại 1 điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
c) \(2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1.\)
Xét hàm số: \(y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}.\)
Tập xác định: \(D=R.\)
Sự biến thiên: \(y'=4x-4{{x}^{3}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 4x-4{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=\pm 1 \\ \end{align} \right..\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\ -1 \right)\) và \(\left( 0;\ 1 \right);\) hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -1;\ 0 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right).\)
Hàm số đạt cực đại tại hai điểm \(x=-1\) và \(x=1;\ \ {{y}_{CD}}=1.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;\ {{y}_{CT}}=0.\)
Giới hạn: \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,=-\infty .\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Số nghiệm của phương trình \(2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}\) và đường thẳng \(y=-1.\)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y=-1\) cắt đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}\) tại hai điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
