Bài 4 trang 45 SGK Hình học 10

Trên mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A(1; 3), \,  B(4;2)\)

a) Tìm tọa độ điểm \(D\) nằm trên trục \(Ox\) sao cho \(DA = DB\);

b) Tính chu vi tam giác \(OAB\);

c) Chứng tỏ rằng \(OA\) vuông góc với \(AB\) và từ đó tính diện tích tam giác \(OAB.\)

Lời giải

a) \(D\) nằm trên trục \(Ox\) nên tọa độ của \(D\) là \((x; 0)\).

 Ta có : \(\overrightarrow {DA}  = \left( {1 - x;\;\;3} \right),\;\;\overrightarrow {DB}  = \left( {4 - x;\;2} \right).\)

 \(\eqalign{b) & O{A^2} = {1^2} + {3^3} = 10 \Rightarrow OA = \sqrt {10} \cr & O{B^2} = {4^2} + {2^2} = 20 \Rightarrow OB = 2\sqrt 5 \cr & A{B^2} = {(4 - 1)^2} + {(2 - 3)^2} = 10 \cr&\Rightarrow AB = \sqrt {10} \cr} \)

Chu vi tam giác \(OAB\) là: \(\sqrt {10}  + 2\sqrt 5  + \sqrt {10}=2\sqrt {10}  + 2\sqrt 5.   \)

c) Ta có \(\vec{OA}= (1; 3)\)

            \(\vec{AB} = (3; -1)\)

\(\vec{OA} .\vec{AB} = 1.3 + 3.(-1) = 0 \Rightarrow \vec{OA}\) ⊥ \(\vec{AB}\) 

\({S_{OAB}}=\frac{1}{2}|\vec{OA}| .|\vec{AB}| =\frac{1}{2}.\sqrt{10}.\sqrt{10}\)\( =5\) (đvdt)