Bài 4 trang 59 SGK Toán 8 tập 2

Cho biết \(\dfrac{AB'}{AB} = \dfrac{AC'}{AC}\) (h.6)

Chứng minh rằng: 

a) \(\dfrac{AB'}{B'B}= \dfrac{AC'}{C'C}\)

b) \(\dfrac{BB'}{AB}  =  \dfrac{CC'}{AC}\).

a) Ta có: 

\(\dfrac{AB'}{AB}=\dfrac{AC'}{AC}\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \dfrac{AC}{AC'}=\dfrac{AB}{AB'}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AC'}} - 1 = \dfrac{{AB}}{{AB'}} - 1\)

Ta có:

\(\dfrac{{AC}}{{AC'}} - 1 = \dfrac{{AC - AC'}}{{AC'}} = \dfrac{{C'C}}{{AC'}}\)

\(\dfrac{{AB}}{{AB'}} - 1 = \dfrac{{AB - AB'}}{{AB'}} = \dfrac{{B'B}}{{AB'}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{C'C}}{{AC'}} = \dfrac{{B'B}}{{AB'}} \Rightarrow \dfrac{{AB'}}{{B'B}} = \dfrac{{AC'}}{{C'C}}\) (điều phải chứng minh).

b) Vì \(\dfrac{AB'}{AB} = \dfrac{AC'}{AC}\)

Mà \(AB' = AB - B'B, AC' = AC - C'C\)

\(\dfrac{AB-BB'}{AB} = \dfrac{AC -CC'}{AC}\) 

\( \Rightarrow 1 - \dfrac{{BB'}}{{AB}} = 1 - \dfrac{{CC'}}{{AC}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{BB'}{AB}= \dfrac{CC'}{AC}\) (điều phải chứng minh).