a) Gọi \((α)\) là mặt phẳng qua \(P\) và chứa trục \(Ox\), thì \((α)\) qua điểm \(O(0 ; 0 ; 0)\) và chứa giá của các vectơ \(\overrightarrow{OP} (4 ; -1 ; 2)\) và \(\overrightarrow{i}( 1 ; 0 ;0)\). Khi đó \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{OP},\overrightarrow{i} \right ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\0&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&4\\0&1\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right|} \right)=(0 ; 2 ; 1)\) là vectơ pháp tuyến của \((α)\).
Phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng: \(2y + z = 0\).
b) Mặt phẳng \((β)\) qua điểm \(Q(1 ; 4 ; -3)\) và chứa trục \(Oy\) thì \((β)\) qua điểm \(O( 0 ; 0 ; 0)\) có \(\overrightarrow{OQ} (1 ; 4 ; -3)\) và \(\overrightarrow{j}(0 ; 1 ; 0)\) là cặp vectơ chỉ phương.
Ta có VTPT của \((β)\) là:\(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow {OQ} ,\;\overrightarrow j } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 3}\\1&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\0&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {3;\;0;\;1} \right).\)
Phương trình mặt phẳng \((β)\) có dạng : \(3x + z = 0\).
c) Mặt phẳng \((ɣ)\) qua điểm \(R(3 ; -4 ; 7)\) và chứa trục \(Oz\) nên nó đi qua \(O(0;0;0)\) và nhận cặp vectơ \(\overrightarrow{OR}(3 ; -4 ; 7)\) và \(\overrightarrow{k}(0 ; 0 ; 1)\) làm vectơ chỉ phương.
Khi đó VTPT của \((ɣ)\) là: \( \overrightarrow {{n_\gamma }} = \left[ {\overrightarrow {OR} ,\;\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&7\\0&1\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}7&3\\1&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\0&0\end{array}} \right|} \right)\\ = \left( { - 4;\; - 3;\;0} \right) = - \left( {4;\;3;\;0} \right).\)
Phương trình mặt phẳng \((ɣ)\) có dạng: \(4x + 3y = 0\).
