a) Phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\) có nghiệm \(x_1= 7\).
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = - 35 \)
\(\Rightarrow 7{x_2} = - 35 \Leftrightarrow {x_2} = - 5\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\eqalign{
& {x_1} + {x_2} = - m \cr
& \Rightarrow - m = 7 + \left( { - 5} \right) \cr&\Leftrightarrow - m = 2\cr& \Leftrightarrow m = - 2 \cr} \)
Vậy \(m = -2\) thì phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\) có nghiệm \(x_1= 7\) và nghiệm \(x_2= -5\).
b) Phương trình \({x^2} - 13x + m = 0\) có nghiệm \(x_1 = 12,5\).
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = 13 \)
\(\Rightarrow 12,5 + {x_2} = 13 \Leftrightarrow {x_2} = 0,5\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = m\) \( \Rightarrow m = 12,5.0,5 = 6,25\)
Vậy \( m = 6,25 \) thì phương trình \({x^2} - 13x + m = 0\) có nghiệm \(x_1= 12,5\) và nghiệm \(x_2= 0,5\).
c) Phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0\) có nghiệm \(x_1= -2\).
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\displaystyle {x_1} + {x_2} = - {3 \over 4}\)
\(\displaystyle\Rightarrow - 2 + {x_2} = - {3 \over 4} \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {x_2}= - {3 \over 4}+2= {5 \over 4}\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\displaystyle{x_1}{x_2} = {{ - {m^2} + 3m} \over 4}\)
\( \displaystyle \Rightarrow -2.{5 \over 4} = {{ - {m^2} + 3m} \over 4}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 10 = 0 \)
\( \displaystyle \Delta _m= {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 10} \right)\)\(\, = 9 + 40 = 49 > 0 \)
\( \Rightarrow \sqrt \Delta_m = \sqrt {49} = 7 \)
\( \displaystyle {m_1} = {{3 + 7} \over {2.1}} = 5 \)
\( \displaystyle {m_2} = {{3 - 7} \over {2.1}} = - 2 \)
Vậy \(m = 5\) hoặc \(m = -2\) thì phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0\) có nghiệm \(x_1= -2\) và nghiệm \(\displaystyle {x_2} = {5 \over 4}\).
d) Phương trình \(3{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 0\) có nghiệm \(\displaystyle{x_1} = {1 \over 3}\) .
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\displaystyle {x_1}{x_2} = {5 \over 3} \)
\(\displaystyle \Rightarrow {1 \over 3}{x_2} = {5 \over 3} \Leftrightarrow {x_2} = 5\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\displaystyle {x_1} + {x_2} = {{2\left( {m - 3} \right)} \over 3}\)
\(\displaystyle \Rightarrow {1 \over 3} + 5 = {{2\left( {m - 3} \right)} \over 3}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow 2\left( {m - 3} \right) = 16 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow m - 3 = 8 \Leftrightarrow m = 11\)
Vậy \(m = 11\) thì phương trình \(3{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 0\) có nghiệm \(\displaystyle{x_1} = {1 \over 3}\) và nghiệm \({x_2} = 5\).
