a) Đặt \({x^2} + x = t\) ta được phương trình \(3{t^2} - 2t - 1 = 0\)
Phương trình này có \(a + b + c = 3 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) = 0\) nên có hai nghiệm \(t = 1;t = - \dfrac{1}{3}\)
+ Với \({t_1} = 1\) ta có \({x^2} + x = 1\) hay \({x^2} + x - 1 = 0\) có \(\Delta = {1^2} + 4.1.1 = 5 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\)
+ Với \(t = - \dfrac{1}{3} \Rightarrow {x^2} + x = - \dfrac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3x + 1 = 0\) có \(\Delta = {3^2} - 4.3.1 = - 3 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}.\)
b) Ta có
\(\begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 4x + 2} \right)^2} + {x^2} - 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 4x + 2} \right)^2} + {x^2} - 4x + 2 - 6 = 0\end{array}\)
Đặt \(t = {x^2} - 4x + 2\) ta được phương trình \({t^2} + t - 6 = 0\) có \(\Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 6} \right) = 25 > 0 \)\(\Rightarrow \sqrt \Delta = 5\) nên có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 1 + 5}}{2} = 2\\t = \dfrac{{ - 1 - 5}}{2} = - 3\end{array} \right.\)
+ Với \(t = 2 \Rightarrow {x^2} - 4x + 2 = 2 \)\(\Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0 \)\(\Leftrightarrow x\left( {x - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\)
+ Với \(t = - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2 = - 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.5 = - 4 < 0\) nên phương trình này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 0;x = 4.\)
c) \(x - \sqrt x = 5\sqrt x + 7 \)\(\Leftrightarrow x - 6\sqrt x - 7 = 0\)
ĐK: \(x \ge 0\)
Đặt \(\sqrt x = t\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta được phương trình \({t^2} - 6t - 7 = 0\) có \(a - b + c = 1 - \left( { - 6} \right) + \left( { - 7} \right) = 0\) nên có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}t = - 1\left( L \right)\\t = 7\left( N \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = 7 \Rightarrow \sqrt x = 7 \Leftrightarrow x = 49\,\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 49.\)
d) ĐK:\(x \ne \left\{ { - 1;1} \right\}\)
Đặt \(\dfrac{x}{{x + 1}} = t \Rightarrow \dfrac{{x + 1}}{x} = \dfrac{1}{t}\) , ta có phương trình \(t - 10.\dfrac{1}{t} = 3 \Rightarrow {t^2} - 3t - 10 = 0\)
Phương trình trên có \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 10} \right) = 49 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = 7\) nên có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{3 + 7}}{2} = 5\\t = \dfrac{{3 - 7}}{2} = - 2\end{array} \right.\)
+ Với \(t = 5 \Rightarrow \dfrac{x}{{x + 1}} = 5 \\\Rightarrow 5x + 5 = x \Leftrightarrow x = - \dfrac{5}{4}\left( {TM} \right)\)
+ Với \(t = - 3 \Rightarrow \dfrac{x}{{x + 1}} = - 3\\ \Rightarrow x = - 3x - 3 \Leftrightarrow x = - \dfrac{3}{4}\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = - \dfrac{5}{4};x = - \dfrac{3}{4}.\)
