a)
\(∆ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat B + \widehat C = {90^o}\) (1)
\(∆ HBA\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat B + \widehat {{A_1}} = {90^o}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat C = \widehat {{A_1}}\) (3)
\(∆ HAC\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat C + \widehat {{A_2}} = {90^o}\) (4)
Từ (1) và (4) suy ra \(\widehat {{A_2}} = \widehat B\) (5)
\(∆ KAH\) vuông tại \(K\) nên \(\widehat {{A_2}} + \widehat {{H_2}} = {90^o}\) (6)
Từ (1), (5) và (6) suy ra \(\widehat {{H_2}} = \widehat C\)
\(∆ KHC\) vuông tại \(K\) nên \(\widehat {{H_1}} + \widehat C = {90^o}\) (7)
Từ (1) và (7) suy ra \(\widehat {{H_1}} = \widehat B\)
Do đó hình có \(5\) tam giác đồng dạng với nhau theo từng đôi một, đó là: \(∆ABC; ∆ HBA; ∆ HAC; ∆ KAH;\)\(\, ∆ KHC.\)
b)
- Xét \( ∆ ABC\) và \(∆ HBA\) có:
+) \(\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = {90^o}\)
+) \(\widehat B\) chung
\( \Rightarrow ∆ ABC\) đồng dạng \(∆ HBA\) (g.g)
\(\displaystyle \Rightarrow {{AB} \over {HB}} = {{AC} \over {HA}} = {{BC} \over {BA}}\)
- Xét \(∆ ABC\) và \(∆ HAC\) có:
+) \(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = {90^o}\)
+) \(\widehat C\) chung
\( \Rightarrow ∆ ABC\) đồng dạng \(∆ HAC \) (g.g)
\(\displaystyle \Rightarrow {{AB} \over {HA}} = {{AC} \over {HC}} = {{BC} \over {AC}}\)
- Xét \(∆ ABC\) và \(∆ KHC\) có:
+) \(\widehat {BAC} = \widehat {HKC} = {90^o}\)
+) \(\widehat C\) chung
+) \( \Rightarrow ∆ ABC\) đồng dạng \(∆ KHC\) (g.g)
\(\displaystyle \Rightarrow {{AB} \over {KH}} = {{AC} \over {KC}} = {{BC} \over {HC}}\)
- Xét \(∆ ABC\) và \(∆ KAH\) có:
+) \(\widehat {BAC} = \widehat {AKH} = {90^o}\)
+) \(\widehat B = \widehat {{A_2}}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆ ABC\) đồng dạng \(∆ KAH\) (g.g)
\(\displaystyle \Rightarrow{{AB} \over {KA}} = {{AC} \over {KH}} = {{BC} \over {AH}}\)
Do đó \(∆ABC; ∆ HBA; ∆ HAC; ∆ KAH;\)\(\, ∆ KHC\) đồng dạng với nhau từng đôi một.
+) \(∆ HBA\) đồng dạng \(∆ HAC\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{HB} \over {HA}} = {{HA} \over {HC}} = {{BA} \over {AC}}\)
+) \(∆ HBA\) đồng dạng \(∆ KHC\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{HB} \over {KH}} = {{HA} \over {KC}} = {{BA} \over {HC}}\)
+) \( ∆ HBA\) đồng dạng \(∆ KAH\)
\(\displaystyle \Rightarrow{{HB} \over {KA}} = {{HA} \over {KH}} = {{BA} \over {AH}}\)
+) \( ∆ HAC\) đồng dạng \(∆ KHC\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{HA} \over {KH}} = {{HC} \over {KC}} = {{AC} \over {HC}}\)
+) \(∆ HAC\) đồng dạng \(∆ KAH\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{HA} \over {KA}} = {{HC} \over {KH}} = {{AC} \over {AH}}\)
+) \(∆ KHC\) đồng dạng \(∆ KAH\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{KH} \over {KA}} = {{KC} \over {KH}} = {{HC} \over {AH}}\)
