Phương pháp:
Sử dụng tính chất: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Cách giải:
Do khoảng cách từ trọng tâm tới một đỉnh của tam giác bằng \(\displaystyle {2 \over 3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó mà \(AD=DE=EM\) nên \(AE=\dfrac{2}{3}AM\), do đó \(E\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)
Chọn (B).
Bài 4.2
Cho tam giác \(\displaystyle ABC,\) trên đường trung tuyến \(\displaystyle AD.\) Gọi \(\displaystyle G\) là điểm nằm giữa \(\displaystyle A \) và \(\displaystyle D\) sao cho \(\displaystyle {{AG} \over {A{\rm{D}}}} = {2 \over 3}\). Tia \(\displaystyle BG\) cắt \(\displaystyle AC\) tại \(\displaystyle E,\) tia \(\displaystyle CG\) cắt \(\displaystyle AB\) tại \(\displaystyle F.\) Khẳng định nào sau đây sai?
\(\displaystyle \left( A \right){{BG} \over {EG}} = 2\)
\(\displaystyle \left( B \right){{FG} \over {CG}} = {2 \over 3}\)
(C) \(\displaystyle E\) là trung điểm của cạnh \(\displaystyle AC\)
(D) \(\displaystyle F\) là trung điểm của cạnh \(\displaystyle AB\)
Phương pháp:
Sử dụng tính chất: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \(\displaystyle \dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Cách giải:
Do ba đường trung tuyến của một tam giác quy đồng tại trọng tâm của tam giác và trọng tâm cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\displaystyle {2 \over 3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó nên từ giả thiết suy ra \(\displaystyle G\) là trọng tâm tam giác \(\displaystyle ABC\) nên \(\displaystyle CF\) là đường trung tuyến của tam giác \(\displaystyle ABC\) nên \(\displaystyle CG=\dfrac{2}{3} CF\)
Do đó: \(\displaystyle FG=\dfrac{1}{3} CF\), suy ra \(\displaystyle FG=\dfrac{1}{2} CG\) hay \(\displaystyle \dfrac{FG}{CG}=\dfrac{1}{2} \)
Hay (B) sai.
Chọn \(\displaystyle \left( B \right){{FG} \over {CG}} = {2 \over 3}\)
Bài 4.3
Hai đoạn thẳng \(\displaystyle AB\) và \(\displaystyle CD \) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Gọi \(\displaystyle E\) và \(\displaystyle F\) theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng \(\displaystyle AD\) và \(\displaystyle BD.\) Các đoạn thẳng \(\displaystyle CE\) và \(\displaystyle CF\) lần lượt cắt đoạn thẳng \(\displaystyle AB\) tại \(\displaystyle I, J.\) Chứng minh rằng: \(\displaystyle AI = IJ = JB.\)
Phương pháp:
Sử dụng tính chất: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \(\displaystyle \dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Cách giải:
Gọi \(\displaystyle O\) là giao điểm của hai đoạn thẳng \(\displaystyle AB\) và \(\displaystyle CD.\) Xét hai tam giác \(\displaystyle ACD\) và \(\displaystyle BCD.\) Từ giả thiết suy ra \(\displaystyle I, J\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(\displaystyle ACD\) và tam giác \(\displaystyle BCD.\)
Do đó: \(\displaystyle OI = {1 \over 3}AO,AI = {2 \over 3}AO,\)\(\displaystyle {\rm{OJ}} = {1 \over 3}BO,BJ = {2 \over 3}BO\)
Theo giả thiết \(\displaystyle AO = BO\) nên
\(\displaystyle {\rm{IJ}} = OI + {\rm{OJ = }}{2 \over 3}{\rm{AO = AI = BJ}}\)
