Giả sử \(∆ABC\) đều có trọng tâm \(G\). Các điểm \(E, N, M\) lần lượt là trung điểm của \(AB, BC, AC.\)
\( \Rightarrow GA = \dfrac{2}{3}AN\); \(GB = \dfrac{2}{3}BM\); \(GC = \dfrac{2}{3}EC\).
Vì \(∆ABC\) đều nên ba trung tuyến \(AN, BM, CE\) bằng nhau.
\( \Rightarrow GA = GB = GC\)
Xét \(∆AMG\) và \(∆CMG\) ta có:
+) \(GA = GC\) (chứng minh trên)
+) \(AM = MC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(AC\))
+) Cạnh \(MG\) chung
Vậy \(∆AMG = ∆CMG\) (c.c.c)
\( \Rightarrow\) \(\widehat{AMG}=\widehat{CMG}\)
Mà \(\widehat{AMG}+\widehat{CMG} = 180^o \) (\(2\) góc kề bù)
\( \Rightarrow\) \(\widehat{AMG} = 90^o\)
\( \Rightarrow GM ⊥ AC\) tức là \(GM\) là khoảng cách từ \(G\) đến \(AC\).
Chứng minh tương tự \(GE, GN\) là khoảng cách từ \(G\) đến \(AB, BC.\)
Mà \(GM =\dfrac{1}{3}BM\); \(GN = \dfrac{1}{3}AN\); \(GE = \dfrac{1}{3}EC\).
Và \(AN = BM = EC\) nên \(GM = GN = GE.\)
Hay \(G\) cách đều ba cạnh của tam giác \(ABC.\)
