\(y = 4{x^3} - {x^4} = {x^3}(4 - x)\)
\( \Leftrightarrow 3y = x.x.x(12 - 3x) \le {(\dfrac{{x + x}}{2})^2}{(\dfrac{{x + 12 - 3x}}{2})^2}\)
\( \Leftrightarrow 48 \le {{\rm{[}}2x(12 - 2x){\rm{]}}^2} \le {(\dfrac{{2x + 12 - 2x}}{2})^4} = {6^4}\)
\( \Leftrightarrow y \le \dfrac{{{6^4}}}{{48}} = 27,\forall x \in {\rm{[}}0;4]\).
\(y = 27\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x\\x = 12 - 3x\\2x = 12 - x\\x \in {\rm{[}}0;4]\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3.\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 27 đạt được khi \(x = 3\).
