Vì \(∆ABC\) vuông tại \(A,\) có \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\)
\( \Rightarrow AM = MB = MC = \displaystyle{1 \over 2}BC\) (tính chất tam giác vuông)
Nên đường tròn tâm \(M\) bán kính \(MA\) đi qua \(A,B,C\)
Gọi \(D\) là giao điểm của \(AH\) với đường tròn \((M,MA).\)
\( \Rightarrow BC\) là trung trực của \(AD\)
\( \Rightarrow AC=CD\) (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
\( \Rightarrow ∆ACD\) cân tại \(C\)
\( \Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{DAC}\) \((1)\)
Ta lại có: \(\widehat{ADC}=\widehat{nAC}\) (hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) \((2)\)
Từ \((1),(2)\) suy ra \(\widehat{DAC}=\widehat{nAC}\) hay \(\widehat{HAC}=\widehat{nAC}\)
Vậy \(AC\) là tia phân giác của \(\widehat {HAn}\)
Ta có: \(\widehat{ACB}=\widehat{mAB}\) (hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) \((3)\)
\( \widehat {BAH} + \widehat {ACB} = {90^o}\) (cùng phụ với góc \(\widehat {HAC}\)) \( (4)\)
Từ \((3),(4)\) suy ra \(\widehat {mAB} = \widehat {BAH}\).
Vậy \(AB\) là tia phân giác của \(\widehat {mAH}\).
