a) Gọi \(F\) là trung điểm của cạnh bên \(BC.\) Cắt hình thang theo đường \(DF\) đưa ghép về như hình vẽ bên, điểm \(C\) trung với điểm \(B, D\) trùng với \(E.\)
Vì \(AB // CD\) \( \Rightarrow \widehat {ABC} + 180^\circ \Rightarrow {\rm A},{\rm B},{\rm E}\) thẳng hàng
\(\widehat {ABF} + \widehat {DFC} = 180^\circ \)
\(⇒ D, F, E\) thẳng hàng
\(∆ DFC = ∆ EFB \,(g.c.g)\)
\({S_{DFC}} = {S_{EFB}}\)
Suy ra: \({S_{ABCD}} = {S_{ADE}}\)
\(∆ DFC = ∆ EFB\) \(⇒ DC = BE\)
\(AE = AB + BE = AB + DC\)
\({S_{ADE}} = \dfrac{1}{2}DH.AE =\\ \dfrac{1}{2}DH.\left( {AB + CD} \right)\)
Vậy : \({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}DH.\left( {AB + CD} \right)\)
b) Dựa trên hình vẽ câu a ta chọn điểm \(K\) là trung điểm \(AE.\)
Ta nối \(DK\) cắt hình thang theo đường \(DK\) ta có hai phần diện tích bằng nhau:
Một phần là \(∆ ADK\) có \(AK = \dfrac{AB + CD}{2}\)
Một phần là hình thang \(BCDK\) có hai đáy \(CD + BK = \dfrac{AB + CD}{2}\)
Và có chiều cao bằng nhau nên có diện tích bằng nhau.
