Gọi ba đường tròn tâm \(O_1,O_2,O_3.\)
\((O_1)\) cắt \((O_2)\) tại \(A;\) \((O_1)\) cắt \((O_3)\) tại \(B.\)
\((O_2)\) cắt \((O_3)\) tại \(C.\) Suy ra \(D\) là điểm nằm trên đường tròn \((O_3).\)
\(BD\) cắt \((O_1)\) tại \(M,\) \(DC\) cắt \((O_2)\) tại \(N.\)
Nối \(PA, PB, PC,\) \(MA, NA.\)
Ta có tứ giác \(APBM\) nội tiếp trong đường tròn \((O_1).\)
\(\widehat {MAP} + \widehat {MBP} = 180^\circ \) (tính chất tứ giác nội tiếp)
\(\widehat {MBP} + \widehat {PBD} = 180^\circ \) (kề bù)
Suy ra: \(\widehat {MAP} = \widehat {PBD}\) \( (1)\)
Ta có: Tứ giác \(APCN\) nội tiếp trong đường tròn \((O_2)\)
\(\widehat {NAP} + \widehat {NCP} = 180^\circ \) (tính chất tứ giác nội tiếp)
\(\widehat {NCP} + \widehat {PCD} = 180^\circ \) (kề bù)
Suy ra: \(\widehat {NAP} = \widehat {PCD}\) \( (2)\)
Tứ giác \(BPCD\) nội tiếp trong đường tròn \((O_3)\)
\( \Rightarrow \widehat {PBD} + \widehat {PCD} = 180^\circ \) (tính chất tứ giác nội tiếp) \((3)\)
Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(\widehat {MAP} + \widehat {NAP} = 180^\circ \)
Vậy ba điểm \(M, A, N\) thẳng hàng.
