Bài 4.25 trang 108 SBT đại số 10

Đề bài

Chứng minh rằng các bất phương trình sau đây vô nghiệm:

a)\({x^2} + \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} < 1\).

b) \(\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} < 2\).

c) \(\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1}  < 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\).

a) Theo bất đẳng thức Cô – si ta có  \(({x^2} + 1) + \dfrac{1}{{({x^2} + 1)}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 1}}}  = 2\) \( \Leftrightarrow {x^2} + \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} \ge 1\forall x\)

Vì vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Tương tự a), áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

c)Tương tự a) (sử dụng hằng đẳng thức \((a + b)({a^2} - ab + {b^2}) = {a^3} + {b^3}\)và đồng nhất thức \(\sqrt {\sqrt a }  = \sqrt[4]{a}\)).