\(a)\) Gọi \(M’\) và \(N’\) là giao điểm của tia \(AM\) và \(BN\) với \(CD.\) Ta có:
\(\widehat {M'} = {\widehat A_2}\) (so le trong)
\({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (gt)
Suy ra: \(\widehat {M'} = {\widehat A_1}\)
Nên \(∆ ADM’\) cân tại \(D\)
\(DM\) là phân giác của \(\widehat {ADM'}\)
Suy ra: \(DM\) là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)
\(⇒ AM = MM’\)
\(\widehat {N'} = {\widehat B_2}\) (so le trong)
\({\widehat B_1} = {\widehat B_2}\) (gt)
Suy ra: \(\widehat {N'} = {\widehat B_1}\)
Nên \(∆ BCN’\) cân tại \(C\)
\(CN\) là phân giác của \(\widehat {BCN'}\)
Suy ra: \(CN\) là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)
\(⇒ BN = NN’\)
Suy ra: \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABN’M’\)
\(⇒ MN // M’N’\) (tính chất đường trung bình hình thang)
Hay \(MN // CD\)
\(b)\) \(MN =\displaystyle {{AB + M'N'} \over 2}\) (tính chất đường trung bình của hình thang)
\( \Rightarrow MN = \displaystyle {{AB + M'D + CD + CN'} \over 2}\;\,( 1 )\)
Mà \(M’D = AD, CN’ = BC.\) Thay vào \((1):\)
\(MN = \displaystyle {{AB + AD + CD + BC} \over 2}\)\( = \displaystyle {{a + d + c + b} \over 2}\)
