a)
Gọi \(AD\) là phân giác của góc \(A\) của \(∆ ABC\), \(A'D'\) là phân giác của góc \(A'\) của \(∆ A'B'C'\).
Giả sử \(∆ A’B’C’ \backsim ∆ ABC\) theo tỉ số \(k\) ta có:
\(\widehat A = \widehat {A'};\widehat B = \widehat {B'};\widehat C = \widehat {C'}\) và \(\displaystyle {{A'B'} \over {AB}} = k\)
Mà \(\displaystyle \widehat {BAD} = {1 \over 2}\widehat A\) (vì \(AD\) là phân giác góc \(A\)) và \(\displaystyle \widehat {B'A'D'} = {1 \over 2}\widehat A\) (vì \(A'D'\) là tia phân giác góc \(A'\)).
\( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {B'A'D'}\)
Xét \(∆ ABD\) và \(∆ A’B’D’\) có:
+) \(\widehat B = \widehat {B'}\) (chứng minh trên )
+) \(\widehat {BAD} = \widehat {B'A'D'}\) (chứng minh trên )
\( \Rightarrow ∆ ABD \backsim ∆ A’B’D’ \) (g.g)
\( \displaystyle \Rightarrow {{A'D'} \over {AD}} = {{A'B'} \over {AB}} = k\).
b) Gọi \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(BC\) của \(∆ ABC\), \(A'M'\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(B'C'\) của \(∆ A’B’C’\).
Giả sử \(∆ A’B’C’ \backsim ∆ ABC\) theo tỉ số \(k\) ta có: \(\displaystyle {{B'C'} \over {BC}} = k\)
Mà \(\displaystyle B'M' = {1 \over 2}B'C'\) (vì \(M\) là trung điểm \(BC\)) và \(\displaystyle BM = {1 \over 2}BC\) (vì \(M'\) là trung điểm \(B'C'\)) nên \(\displaystyle {{B'M'} \over {BM}}= \dfrac{{\dfrac{1}{2}B'C'}}{{\dfrac{1}{2}BC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = k\)
Xét \(∆ ABM\) và \(∆ A’B’M’\) có:
+) \(\displaystyle {{A'B'} \over {AB}} = {{B'M'} \over {BM}} = k\)
+) \(\displaystyle \widehat B = \widehat {B'}\) (chứng minh trên )
\( \Rightarrow ∆ ABM \backsim ∆ A’B’M’\) (c.g.c)
\( \displaystyle \Rightarrow {{A'M'} \over {AM}} = {{A'B'} \over {AB}} = k\).
