a) Ta có \(z\overline z = {\left| z \right|^2}\) nên từ \(\overline z = {z^3} \Rightarrow {\left| z \right|^2} = {z^4}\)
Đặt \(z = a+ bi\), suy ra:
\({a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2} + 4ab({a^2} - {b^2})i = {a^2} + {b^2}\) (*)
Suy ra \(4ab({a^2} - {b^2}) = 0\) (**)
Từ (**) suy ra các trường hợp sau:
+) \(a = b = 0 \) \( \Rightarrow \) \(z = 0\)
+) \(a = 0,b \ne 0\): Thay vào (*), ta có \({b^4} = {b^2} \Rightarrow b = \pm 1 \Rightarrow z = \pm i\)
+) \(b = 0,a \ne 0\): Tương tự, ta có \(a = \pm 1 \Rightarrow z = \pm 1\)
+) \(a \ne 0,b \ne 0\)\( \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 0 \Rightarrow {a^2} = {b^2}\), thay vào (*) , ta có:
\(2{a^2}\left( {2{a^2} + 1} \right) = 0\), không có \(a\) nào thỏa mãn (vì \(a \ne 0\))
b) Đặt \(z = a + bi\). Từ \(\left| z \right| + z = 3 + 4i\;\)suy ra
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 3 + 4i\) \( \Rightarrow b = 4\) và \(\sqrt {{a^2} + 16} + a = 3\)
\( \Rightarrow {a^2} + 16 = {(3 - a)^2} = 9 - 6a + {a^2}\)\( \Rightarrow 6a = - 7 \Rightarrow a = - \dfrac{7}{6}\)
Vậy \(z = - \dfrac{7}{6} + 4i\).
