Phương pháp:
Sử dụng tính chất: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \(\displaystyle \dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Sử dụng: Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích sẽ bằng với tỉ số hai cạnh đáy tương ứng.
Cách giải:
Vì tam giác \(\displaystyle ABC\) có hai đường trung tuyến \(\displaystyle {\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\) và \(\displaystyle B{B_1}\) cắt nhau tại điểm \(\displaystyle O\) nên \(\displaystyle O\) là trọng tâm tam giác \(\displaystyle ABC,\) suy ra \(\displaystyle {\rm{A}}O = {2 \over 3}{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}.\)
Ta có:
\(\displaystyle {S_{AOB}} = {2 \over 3}{S_{{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}B}}\) (vì có cùng chiều cao hạ từ \(\displaystyle B\) và \(\displaystyle {\rm{A}}O = {2 \over 3}{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\))
Suy ra \(\displaystyle {S_{AA_1B}} = {2 \over 3}{S_{AOB}}\)
Lại có \(\displaystyle {{\rm{S}}_{AB{A_1}}} = {1 \over 2}{S_{ABC}}\) (vì có cùng chiều cao hạ từ \(\displaystyle A\) và \(\displaystyle B{A_1} = {1 \over 2}BC\)) ;
Từ đó suy ra \(\displaystyle {{\rm{S}}_{ABC}} = 2{{\rm{S}}_{AB{A_1}}}\)\(\displaystyle =2.\dfrac{3}{2}{{\rm{S}}_{AOB}} = 3{{\rm{S}}_{AOB}}\)
Nếu \(\displaystyle {{\rm{S}}_{AOB}} = 5c{m^2}\) thì \(\displaystyle {S_{ABC}} = 3.5 = 15\left( {c{m^2}} \right)\)
Bài 4.5
Chứng minh rằng các trung tuyến của một tam giác phân chia tam giác đó thành 6 tam giác mà diện tích của chúng (đôi một) bằng nhau.
Phương pháp:
Sử dụng tính chất: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \(\displaystyle \dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Sử dụng: Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích sẽ bằng với tỉ số hai cạnh đáy tương ứng.
Cách giải:
Bài 4.6
Cho tam giác \(\displaystyle ABC\) với đường trung tuyến \(\displaystyle D.\) Trên tia \(\displaystyle AD\) lấy điểm \(\displaystyle E\) sao cho \(\displaystyle AD = DE,\) trên tia \(\displaystyle BC\) lấy điểm \(\displaystyle M\) sao cho \(\displaystyle BC = CM.\)
a) Tìm trọng tâm của tam giác \(\displaystyle AEM.\)
b) So sánh các cạnh của tam giác \(\displaystyle ABC\) với các đường trung tuyến của tam giác \(\displaystyle AEM\)
c) So sánh các đường trung tuyến của tam giác \(\displaystyle ABC\) với các cạnh của tam giác \(\displaystyle AEM.\)
Phương pháp:
Sử dụng tính chất: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \(\displaystyle \displaystyle \dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau.
Cách giải:
a) Do \(\displaystyle AD = DE\) nên \(\displaystyle MD\) là một đường trung tuyến của tam giác \(\displaystyle AEM.\)
Hơn nữa do \(\displaystyle C{\rm{D}} = {1 \over 2}CB = {1 \over 2}CM\)
Suy ra \(\displaystyle MC=\dfrac{2}{3}MD\)
Nên \(\displaystyle C\) là trọng tâm của tam giác \(\displaystyle AEM.\)
b) Các đường thẳng \(\displaystyle AC, EC\) lần lượt cắt \(\displaystyle EM, AM\) tại \(\displaystyle F, I.\) Tam giác \(\displaystyle AEM\) có các đường trung tuyến là \(\displaystyle AF, EI, MD.\) Ta có \(\displaystyle ∆ADB = ∆EDC\) (c.g.c) nên \(\displaystyle AB = EC\)
Vậy: \(\displaystyle AC = {2 \over 3}{\rm{AF;BC = CM = }}{2 \over 3}{\rm{MD}};\)\(\displaystyle AB = EC = {2 \over 3}EI\)
c) Trước tiên, theo giả thiết, ta có \(\displaystyle AD = DE\) nên \(\displaystyle A{\rm{D}} = {1 \over 2}A{\rm{E}}\)
Gọi \(\displaystyle BP, CQ\) là các trung tuyến của \(\displaystyle ∆ABC.\)
Lại có: \(\displaystyle ∆BCP = ∆MCF\) (c-g-c) (do \( CP=CF=\dfrac {1}{2}AC, BC=CM, \) \(\displaystyle \widehat {PCB}=\widehat {FCM}\) (đối đỉnh))
\(\displaystyle \Rightarrow BP = FM = {1 \over 2}EM\).
Ta sẽ chứng minh \(\displaystyle CQ = {1 \over 2}AM\)
Ta có:
\(\displaystyle \eqalign{
& \Delta AB{\rm{D}} = \Delta EC{\rm{D}} (c-g-c)\cr
&\Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {CED} \cr
& \Rightarrow AB//EC \Rightarrow \widehat {QAC} = \widehat {IC{\rm{A}}} \cr} \)
Hai tam giác \(\displaystyle ACQ\) và \(\displaystyle CAI\) có cạnh \(\displaystyle AC\) chung, \(\displaystyle \widehat {QAC} = \widehat {IC{\rm{A}}}\);
\(\displaystyle AQ = {1 \over 2}AB = {1 \over 2}EC = IC\) nên chúng bằng nhau.
Vậy \(\displaystyle CQ = AI = {1 \over 2}AM\).
Tóm lại: \(\displaystyle A{\rm{D}} = {1 \over 2}A{\rm{E,BP = }}{1 \over 2}{\rm{EM, }}\)\(\displaystyle CQ={1 \over 2}{\rm{AM}}.\)
