Gọi thời gian một cần cẩu lớn làm một mình xong công việc là \(x\) (giờ), thời gian một cần cẩu bé làm một mình xong công việc là \(y\) (giờ)
Điều kiện: \(x>0;y>0\)
Trong \(1\) giờ một cần cẩu lớn làm được \(\displaystyle{1 \over x}\) (công việc)
Trong \(1\) giờ một cần cẩu bé làm được \(\displaystyle{1 \over y}\) (công việc)
Hai cần cẩu lớn làm trong \(6\) giờ và \(5\) cần cẩu bé làm trong \(3\) giờ thì xong công việc nên ta có:
\(\displaystyle{{12} \over x} + {{15} \over y} = 1\)
Nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong \(4\) giờ xong việc. Do đó trong \(1\) giờ cả \(7\) cần cẩu làm được \(1:4 = \displaystyle{1 \over 4}\) công việc, khi đó ta có phương trình:
\(\displaystyle{2 \over x} + {5 \over y} = {1 \over 4}\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{12} \over x} + {{15} \over y} = 1} \cr
\displaystyle{{2 \over x} + {5 \over y} = {1 \over 4}} \cr} } \right.\)
Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) \((a>0;b>0)\)
Khi đó hệ phương trình trên trở thành:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{12a + 15b = 1} \cr
{2a + 5b = \displaystyle{1 \over 4}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{12a + 15b = 1} \cr
{12a + 30b =\displaystyle {3 \over 2}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{15b = \displaystyle{1 \over 2}} \cr
{2a + 5b = \displaystyle{1 \over 4}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = \displaystyle{1 \over {30}}} \cr
{2a + \displaystyle 5.{1 \over {30}} = {1 \over 4}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = \displaystyle{1 \over {30}}} \cr
{a = \displaystyle{1 \over {24}}} \cr} } \right. \text{(thỏa mãn)} \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = {1 \over {24}}} \cr
\displaystyle{{1 \over y} = {1 \over {30}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 24} \cr
{y = 30} \cr} } \right.\text{(thỏa mãn)} \)
Vậy một cần cẩu lớn làm một mình trong \(24\) giờ thì xong công việc, một cần cẩu nhỏ làm một mình trong \(30\) giờ thì xong công việc.
