* Nếu \(O\) là điểm nằm trong \(∆ABC\)
Kẻ \(OH \bot AB,OK \bot BC,OI \bot {\rm{A}}C\)
Vì điểm \(O\) cách đều các đường thẳng \(AB, BC, CA.\)
\( \Rightarrow OH = OK = OI\)
Vì \(OH = OK \Rightarrow O\) nằm trên tia phân giác \(\widehat {ABC}\)
Vì \(OI = OK \Rightarrow O\) nằm trên tia phân giác \(\widehat {ACB}\)
Vậy \(O\) là giao điểm các đường phân giác của \(∆ABC.\)
* Nếu \(O’\) nằm ngoài \(∆ABC\)
Kẻ \(O'D \bot AB,O'E \bot BC,O'F \bot {\rm{AC}}\)
\( \Rightarrow O'D = O'E = O'F\)
Vì \(O'D = O'F \Rightarrow O\) nằm trên tia phân giác \(\widehat {BAC}\)
Vì \(O’D = O'E \Rightarrow O'\) nằm trên tia phân giác \(\widehat {DBC}\)
\( \Rightarrow O'\) là giao điểm phân giác trong của \(\widehat {BAC}\) và phân giác ngoài tại đỉnh \(B\) và \(C. \) Nên \(A, O, O’\) thẳng và \(A, H, D\) thẳng hàng.
Ta có: \(OH < O’D\)
Vậy \(O\) là giao điểm các đường phân giác trong của \(∆ABC\) cách đều ba đường thẳng \(AB, BC, CA\) và khoảng cách này là ngắn nhất.
