a) \(\displaystyle {{12} \over {x - 1}} - {8 \over {x + 1}} = 1\)
ĐKXĐ: \(x \ne \pm 1\)
\( \Rightarrow 12\left( {x + 1} \right) - 8\left( {x - 1} \right) \)\(\,= \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \)
\( \Leftrightarrow 12x + 12 - 8x + 8 = {x^2} - 1 \)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 21 = 0 \)
\(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 21} \right) = 4 + 21 = 25 \)
\( \sqrt {\Delta '} = \sqrt {25} = 5 \)
\(\displaystyle {x_1} = {{2 + 5} \over 1} = 7 \) (thỏa mãn)
\(\displaystyle {x_2} = {{2 - 5} \over 1} = - 3 \) (thỏa mãn)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 7;{x_2} = - 3\).
b) \( \displaystyle {{16} \over {x - 3}} + {{30} \over {1 - x}} = 3\)
ĐKXĐ: \(x \ne 3;x \ne 1\)
\(\Rightarrow 16\left( {1 - x} \right) + 30\left( {x - 3} \right) \)\(\,= 3\left( {x - 3} \right)\left( {1 - x} \right) \)
\( \Leftrightarrow 16 - 16x + 30x - 90 = 3x - 3{x^2}\)\(\, - 9 + 9x \)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 2x - 65 = 0 \)
\( \Delta ' = {1^2} - 3.\left( { - 65} \right) \)\(\,= 1 + 195 = 196 > 0 \)
\( \sqrt {\Delta '} = \sqrt {196} = 14 \)
\( \displaystyle {x_1} = {{ - 1 + 14} \over 3} = {{13} \over 3} \) (thỏa mãn)
\( \displaystyle {x_2} = {{ - 1 - 14} \over 3} = - 5 \) (thỏa mãn)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \(\displaystyle {x_1} = {{13} \over 3};{x_2} = - 5\).
c) \(\displaystyle {{{x^2} - 3x + 5} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {1 \over {x - 3}}\)
ĐKXĐ: \(x \ne 3;x \ne - 2\)
\( \Rightarrow {x^2} - 3x + 5 = x + 2 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\) (*)
Ta có \(a + b + c = 1 + \left( { - 4} \right) + 3 = 0 \)
Phương trình (*) có hai nghiệm:
\({x_1} = 1\) (thỏa mãn); \({x_2} = 3 \) (loại)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 1\).
d) \(\displaystyle {{2x} \over {x - 2}} - {x \over {x + 4}} = {{8x + 8} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\)
ĐKXĐ: \(x \ne 2;x \ne - 4\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow 2x\left( {x + 4} \right) - x\left( {x - 2} \right) = 8x + 8 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} + 8x - {x^2} + 2x = 8x + 8 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0 \cr
& \Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 8} \right) = 1 + 8 = 9 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3 \cr} \)
\(\;\;\displaystyle {x_1} = {{ - 1 + 3} \over 1} = 2 \) (loại)
\( \;\;\displaystyle {x_2} = {{ - 1 - 3} \over 1} = - 4\) (loại)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
e) \(\displaystyle {{{x^3} + 7{x^2} + 6x - 30} \over {{x^3} - 1}} = {{{x^2} - x + 16} \over {{x^2} + x + 1}}\)
ĐKXĐ: \(x \ne 1\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {{{x^3} + 7{x^2} + 6x - 30} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \)\(\,\displaystyle= {{{x^2} - x + 16} \over {{x^2} + x + 1}} \)
\(\displaystyle \Rightarrow {x^3} + 7{x^2} + 6x - 30 \)\(\,= \left( {{x^2} - x + 16} \right)\left( {x - 1} \right) \)
\(\Leftrightarrow {x^3} + 7{x^2} + 6x - 30 = {x^3} - {x^2} \)\(\,+ 16x - {x^2} + x - 16 \)
\( \Leftrightarrow 9{x^2} - 11x - 14 = 0 \)
\( \Delta = {\left( { - 11} \right)^2} - 4.9.\left( { - 14} \right) = 625 > 0 \)
\( \sqrt \Delta = \sqrt {625} = 25 \)
\(\displaystyle {x_1} = {{11 + 25} \over {2.9}} = {{36} \over {18}} = 2 \) (thỏa mãn)
\(\displaystyle {x_2} = {{11 - 25} \over {2.9}} = {{ - 14} \over {18}} = - {7 \over 9} \) (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1} = 2;{x_2} \displaystyle = - {7 \over 9}\).
f) \(\displaystyle {{{x^2} + 9x - 1} \over {{x^4} - 1}} = {{17} \over {{x^3} + {x^2} + x + 1}}\)
ĐKXĐ: \(x \ne \pm 1\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {{{x^2} + 9x - 1} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}} \)\(\,\displaystyle = {{17} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)
\( \Rightarrow {x^2} + 9x - 1 = 17\left( {x - 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 9x - 1 = 17x - 17 \)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 9x - 17x - 1 + 17 = 0 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 = 0 \) (2*)
\(\Delta ' = {\left( { - 4} \right)^2} - 1.16 = 16 - 16 = 0 \)
Phương trình (2*) có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = 4\) (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 4\).
