a) \({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\)
Đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} - 8t - 9 = 0\) có dạng \(a - b + c = 1 - \left( { - 8} \right) + \left( { - 9} \right) = 0 \)
Phương trình có hai nghiệm: \({t_1} = - 1;\displaystyle {t_2} = - {{ - 9} \over 1} = 9 \)
Trong đó \({t_1} = - 1 < 0\) (loại).
\( \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\)
Vậy phương trình đã cho có \(2\) nghiệm: \({x_1} = 3;{x_2} = - 3\).
b) \({y^4} - 1,16{y^2} + 0,16 = 0\)
Đặt \({y^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} - 1,16t + 0,16 = 0\) có dạng \(a + b + c = 1 + \left( { - 1,16} \right) + 0,16 = 0 \)
Phương trình có hai nghiệm:
\( {t_1} = 1\) (thỏa mãn); \({t_2} = 0,16 \) (thỏa mãn)
- Với \(t_1=1\) \( \Rightarrow {y^2} = 1 \Rightarrow y = \pm 1 \)
- Với \(t_2=0,16\) \( \Rightarrow{y^2} = 0,16 \Rightarrow y = \pm 0,4 \)
Vậy phương trình có \(4\) nghiệm: \({y_1} = 1;{y_2} = - 1;{y_3} = 0,4;{y_4} = - 0,4\)
c) \({z^4} - 7{z^2} - 144 = 0\)
Đặt \({z^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} - 7t - 144 = 0\)
\( \Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.1.\left( { - 144} \right) \)\(\,= 49 + 576 = 625 > 0 \)
\( \sqrt \Delta = \sqrt {625} = 25 \)
Phương trình có hai nghiệm:
\(\displaystyle{t_1} = {{7 + 25} \over {2.1}} = 16 \) (thỏa mãn)
\(\displaystyle {t_2} = {{7 - 25} \over {2.1}} = - 9 \) (loại)
- Với \(t_1=16\) \( \Rightarrow {z^2} = 16 \Leftrightarrow z = \pm 4\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({z_1} = 4;{z_2} = - 4\).
d) \(36{t^4} - 13{t^2} + 1 = 0\)
Đặt \({t^2} = u \Rightarrow u \ge 0\)
Ta có phương trình: \(36{u^2} - 13u + 1 = 0\)
\( \Delta = {\left( { - 13} \right)^2} - 4.36.1\)\(\, = 169 - 144 = 25 > 0 \)
\( \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \)
Phương trình có hai nghiệm:
\( {u_1} =\displaystyle{{13 + 5} \over {2.36}} = {{18} \over {72}} = {1 \over 4} \) (thỏa mãn)
\({u_2} =\displaystyle {{13 - 5} \over {2.36}} = {8 \over {72}} = {1 \over 9} \) (thỏa mãn)
- Với \( {u_1} =\displaystyle {1 \over 4} \) thì \({t^2} =\displaystyle {1 \over 4} \Leftrightarrow t = \pm {1 \over 2} \)
- Với \({u_2} =\displaystyle {1 \over 9} \) thì \( {t^2} = \displaystyle {1 \over 9} \Leftrightarrow t = \pm {1 \over 3} \)
Vậy phương trình đã cho có \(4\) nghiệm: \(\displaystyle {x_1} = {1 \over 2};{x_2} = - {1 \over 2};{x_3} = {1 \over 3};{x_4} = - {1 \over 3}\)
e) \(\displaystyle {1 \over 3}{x^4} - {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 6} = 0 \)
\( \Leftrightarrow 2{x^4} - 3{x^2} + 1 = 0 \)
Đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \(2{t^2} - 3t + 1 = 0\)
Có \(a + b + c = 2 + \left( { - 3} \right) + 1 = 0 \)
Phương trình có hai nghiệm:
\({t_1} = 1\) (thỏa mãn); \(\displaystyle{t_2} = {1 \over 2} \) (thỏa mãn)
- Với \(t_1=1\) \(\Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \)
- Với \(\displaystyle{t_2} = {1 \over 2} \) \(\displaystyle \Rightarrow{x^2} = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = \pm {{\sqrt 2 } \over 2} \)
Vậy phương trình đã cho có \(4\) nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = - 1;\) \(\displaystyle {x_3} = {{\sqrt 2 } \over 2};{x_4} = - {{\sqrt 2 } \over 2}\).
f) \(\sqrt 3 {x^4} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} - 2 = 0\)
Đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Phương trình ẩn \(t\): \(\sqrt 3 {t^2} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)t - 2 = 0\)
Ta có:
\(a - b + c \)\(\,= \sqrt 3 - \left[ { - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \right] + \left( { - 2} \right) \)
\(= \sqrt 3 - \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \)
\( = \sqrt 3 - \sqrt 3 + 2 - 2 = 0 \)
Phương trình có hai nghiệm:
\({t_1} = - 1\) (loại);
\({t_2} =\displaystyle - {{ - 2} \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3} \) (thỏa mãn)
- Với \({t_2} =\displaystyle {{2\sqrt 3 } \over 3} \) thì \(\displaystyle {x^2} = {{2\sqrt 3 } \over 3}\) \(\displaystyle \Rightarrow x = \pm \sqrt {{{2\sqrt 3 } \over 3}} = \pm {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3}\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \(\displaystyle {x_1} = {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3};{x_2} = - {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3}\).
