Bài 49 trang 108 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Tính cạnh của hình tám cạnh đều theo bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp.

Hướng dẫn:

Cách \(1:\) áp dụng công thức \(a = 2R\sin\displaystyle {{180^\circ } \over n}\)

Cách \(2:\) tính trực tiếp.

Vẽ dây \(AB\) là cạnh của một hình vuông nội tiếp đường tròn \((O),\) gọi \(C\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(AB.\) Khi đó \(CA\) là cạnh của hình tám cạnh đều nội tiếp. Hãy tính \(CA\) trong tam giác vuông \(CAC’.\)

Cách \(1:\) Áp dụng công thức \(a=2R\sin\dfrac{180^\circ}{n},\) ta có:

\(a=2R\sin22^\circ30'\)\(\approx 0,764R\) 

Cách \(2:\)

\(AC\) là cạnh của đa giác đều \(8\) cạnh.

Trong tam giác vuông \(CAC',\) ta có:

\(AC^2=CD.CC'\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Ta lại có: \(OD=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}\) (nửa cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn \((O;R)).\)

\(CD=OC-OD=R-\dfrac{R\sqrt{2}}{2}\)\(=\dfrac{R(2-\sqrt{2})}{2}\)

\(CC'=2R\)

Do đó: \(AC^2=R^2(2-\sqrt{2})\) \(\Rightarrow AC=R\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx 0,764R\)