Bài 5. Đạo hàm cấp cao

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau đến cấp được cho kèm theo.

a.  \(f\left( x \right) = {x^4} - \cos 2x,{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)\)

b.  \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x,{f^{\left( 5 \right)}}\left( x \right)\)

c.  \(f\left( x \right) = {\left( {x + 10} \right)^6},{f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\)

Chứng minh rằng với mọi \(n ≥ 1\), ta có :

a. Nếu  \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\,\text{ thì }\,{f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\)

b. Nếu  \(f\left( x \right) = \cos x\,\text{ thì }\,{f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = \cos x.\)

c. Nếu \(f\left( x \right) = \sin ax\) (a là hằng số) thì  \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = {a^{4n}}\sin ax.\)

Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 8t + 3t², trong đó t > 0, t tính bằng giây (s) và v(t) tính bằng mét/giây (m/s). Tìm gia tốc của chất điểm

a. Tại thời điểm t = 4

b. Tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11.

Tìm vi phân của mỗi hàm số sau :

a. \(y = {\tan ^2}3x - \cot 3{x^2}\)

b. \(y = \sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} \)

Dùng vi phân để tính gần đúng (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn) :

a. \({1 \over {\sqrt {20,3} }}\).

Hướng dẫn : Xét hàm số \(y = {1 \over {\sqrt x }}\) tại điểm \({x_0} = 20,25 = 4,{5^2}\,\text{ với }\,\Delta x = 0,05\)

b. tan29˚30’.

Hướng dẫn : Xét hàm số y = tanx tại điểm \({x_0} = {\pi  \over 6}\,\text{ với }\,\Delta x =  - {\pi  \over {360}}\)

a. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan x.\) Tính \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\) với n = 1, 2, 3.

b. Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)