Bài 5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Cho tam giác ABC, đường cao AH. Chứng minh rằng đường thẳng BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).

Hãy chứng minh cách dựng trên là đúng.

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB=3,\ AC=4,\ BC=5\). Vẽ đường tròn \((B;BA)\). Chứng minh rằng \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn. 

Cho đường thẳng \(d\), điểm \(A\) nằm trên đường thẳng \(d\), điểm \(B\) nằm ngoài đường thẳng \(d\). Hãy dựng đường tròn \((O)\) đi qua điểm \(B\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d\) tại \(A\).

Tâm \(O\) thỏa mãn hai điều kện:

- \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) (vì đường tròn đi qua \(A\) và \(B\)).

- \(O\) nằm trên đường thẳng vuông góc với \(d\) tại \(A\) (vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(d\) tại \(A\)).

Vậy \(O\) là giao điểm của hai đường thẳng nói trên.

Cách dựng:

- Dựng đường trung trực \(m\) của \(AB\).

- Từ \(A\) dựng một đường thẳng vuông góc với \(d\) cắt đường thẳng \(m\) tại \(O\).

- Dựng đường tròn \((O;\ OA)\0. Đó là đường tròn phải dựng.

Chứng minh:

Vì \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) nên \(OA=OB\), do đó đường tròn \((O;OA)\) đi qua \(A\) và \(B\).

Đường thẳng \(d\perp OA\) tại \(A\) nên đường thẳng \(d\) tiếp xúc với đường tròn \((O)\) tại \(A\).

Biện luận: Bài toán luôn có nghiệm hình. 

Dây cua-roa trên hình 76 có những phần là tiếp tuyến của các đường tròn tâm\(A,\ B,\ C\). Chiều quay của đường tròn tâm \(B\) ngược chiều quay của kim đồng hồ. Tìm chiều quay của đường tròn tâm \(A\) và đường tròn tâm \(C\) (cùng chiều quay hay ngược chiều quay của kim đồng hồ).

Cho đường tròn \((O)\), dây \(AB\) khác đường kính. Qua \(O\) kẻ đường vuông góc với \(AB\), cắt tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn ở điểm \(C\). 

a) Chứng minh rằng \(CB\) là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Cho bán kính của đường tròn bằng \(15cm,\ AB=24cm\). Tính độ dài \(OC\).

Cho đường tròn tâm \(O\) có bán kính \(OA=R\), dây \(BC\) vuông góc với \(OA\) tại trung điểm \(M\) của \(OA\).

a) Từ giác \(OCAB\) là hình gì? Vì sao? 

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại \(B\), nó cắt đường thẳng \(OA\) tại \(E\). Tính độ dài \(BE\) theo \(R\).

Cho đường tròn (O), đường kính AB, tiếp tuyến tại điểm M thuộc (O) cắt hai tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D. Vẽ đường tròn tâm I có đường kính CD. Chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn (I) tại O.

Trên tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại A, lấy điểm P sao cho \(AP = R\sqrt 3 \)

a. Tính các cạnh và các góc của ∆PAO.

b. Kéo dài đường cao AH của ∆PAO cắt đường tròn (O) tại B. Chứng tỏ PB là tiếp tuyến đường tròn (O).

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến tại B với đường tròn (O), trên tiếp tuyến lấy P. Qua A kẻ đường thẳng song song với OP cắt (O) tại Q. Chứng minh PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R), vẽ tiếp tuyến AB(B là tiếp điểm). Lấy C trên đường tròn sao cho \(AC = AB.\)

a. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b. Lấy D thuộc AC. Đường thẳng qua C vuông góc với OD tại I cắt (O) tại E (E khác C). Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)

Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE và CF. Gọi H là trực tâm của tam giác.

a. Chứng minh bốn điểm A, E, H, F cùng nằm trên một đường tròn xác định tâm I

b. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh OE là tiếp tuyến của đường tròn (I).