a) Ta có \(B'A' = B'B = B'C'\)
\( \Rightarrow B'\) thuộc trục của tam giác \(A'BC'\) (1)
\(DA' = DB = DC'\) (đường chéo các hình vuông bằng nhau)
\(\Rightarrow D\) cũng thuộc trục của tam giác \(A'BC' \) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow B'D\) là trục của \((BA'C')\) \( \Rightarrow \bot (BA'C')\).
b) Chứng minh tương tự ta được \(B'D\bot (ACD')\)
\(\left\{ \begin{array}{l}B'D \bot \left( {BA'C'} \right)\\BD' \bot \left( {ACD'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {BA'C'} \right)//\left( {ACD'} \right)\)
Gọi \(G = B'D \cap \left( {BA'C'} \right);\,\,H = B'D \cap \left( {ACD'} \right) \)
\(\Rightarrow d\left( {\left( {BA'C'} \right);\left( {ACD'} \right)} \right) = HK\)
Ta có:
\(O'G//D'H\), \(O'\) là trung điểm của \(B'D' \Rightarrow G\) là trung điểm của \(B'H\).
\( \Rightarrow GB'=GH\) (3)
\(OH//GB\), \(O\) là trung điểm của \(BD \Rightarrow H\) là trung điểm của \(DG\).
\( \Rightarrow HG=HD\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(GB' = GH = HD \Rightarrow GH = \dfrac{1}{3}B'D\)
Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương cạnh \(a\)
\( \Rightarrow B'D = a\sqrt 3 \Rightarrow HG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {\left( {BA'C'} \right);\left( {ACD'} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
c) \(BC' ⊂ (BA'C')\); \(CD' ⊂ (ACD')\), mà \( \left( {BA'C'} \right)//\left( {ACD'} \right)\)
Vậy \(d(BC', CD') = d((BA'C'),(ACD'))= \dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\)
