Bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12

Cho tam giác vuông \(OPM\) có cạnh \(OP\) nằm trên trục \(Ox\). Đặt  \(\widehat {POM} = \alpha \)

và \(OM = R\), \(\left( {0 \le \alpha  \le {\pi  \over 3},R > 0} \right)\)

Gọi   là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh \(Ox\) (H.63).

a) Tính thể tích của  theo \(α\) và \(R\).      

b) Tìm \(α\) sao cho thể tích  là lớn nhất.

a) Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = OP = R\cos \alpha \\{y_M} = PM = R\sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = \dfrac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}\\{y_M} = \dfrac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}.\sin \alpha \end{array} \right. \) \(\Rightarrow {y_M} = x_M \tan \alpha .\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(OM\) là: \(y=x.\ tan \alpha .\)

Khi đó thể tích của khối tròn xoay là:

\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{R\cos \alpha } {{x^2}{{\tan }^2}\alpha dx}  = \left. {\pi {{\tan }^2}\alpha .\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{R\cos \alpha }\\\;\;\; = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.{\tan ^2}\alpha .{\cos ^3}\alpha  = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.{\sin ^2}\alpha .\cos \alpha \\\;\;\; = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.\cos \alpha \left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha  - {{\cos }^3}\alpha } \right).\;\;\left( {dvtt} \right).\end{array}\)

b) Xét hàm số: \(V (\alpha) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha  - co{s^3}\alpha } \right).\)

Đặt  \( t = \cos \alpha .\)

Với  \(\alpha  \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\dfrac{1}{2}} \right].\)

Khi đó ta xét hàm: \(V\left( t \right) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {t - {t^3}} \right)\)  trên \(\left[ {0;\;\dfrac{1}{2}} \right].\)

Có:  \(V'\left( t \right) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {1 - 3{t^2}} \right) \Rightarrow V'\left( t \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 1 - 3{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {tm} \right)\\t =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\)

Ta có bảng biến thiên:

\( \Rightarrow \) Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi  \(t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \) \(\Leftrightarrow \alpha  = \arccos \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy thể tích khối   lớn nhất khi \(\alpha  = \arccos \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.\)