Bài 5 trang 140 SGK Giải tích 12

Cho \(z = a + bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm

Cách 1:

Một phương trình bậc hai nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm là

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x.\overline z - x.z + z.\overline z = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {z + \overline z } \right)x + z.\overline z = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {a + bi + a - bi} \right) + \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0\end{array}\)

Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\)

Cách 2:

Ta có:

\(\begin{array}{l}z + \overline z = a + bi + a - bi = 2a\\z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} + {b^2}\end{array}\)

\(\Rightarrow z,\overline{z}\) là nghiệm của phương trình \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\).