Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{{x^3} - x_0^3}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2} \right)\\ = x_0^2 + {x_0}.{x_0} + x_0^2 = 3x_0^2\\ \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2\end{array}\)
a) Ta có: \(y' (-1) = 3\).
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm \((-1;-1)\) là: \(y = 3\left( {x + 1} \right) - 1 = 3x + 2\)
b) Ta có: \(y' (2) = 3.2^2=12\), \(y(2) =2^3= 8\).
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng \(2\) là: \(y = 12\left( {x - 2} \right) + 8 = 12x - 16\).
c) Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm. Ta có:
\(y' (x_0) = 3 \Leftrightarrow 3{x_0}^2= 3\Leftrightarrow {x_0}^2= 1\) \(\Leftrightarrow x_0= ±1\).
+) Với \(x_0= 1\) ta có \(y(1) = 1\), phương trình tiếp tuyến là \(y = 3\left( {x - 1} \right) + 1 = 3x - 2\)
+) Với \(x_0= -1\) ta có \(y(-1) = -1\), phương trình tiếp tuyến là \(y = 3\left( {x + 1} \right) - 1 = 3x + 2\)
