Gọi \(E\) là giao điểm của tia \(BD\) và đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).
* Xét \(\Delta BEA\) và \(\Delta BCD\) có:
\(\widehat {ABE} = \widehat {DBC}\) (vì \(BD\) là tia phân giác \(\widehat B\))
\(\widehat {BEA} = \widehat {BCD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))
\(\Rightarrow \Delta BEA\backsim \Delta BCD\) (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BE}}{{BC}}\)
Mà \(BE=BD+DE\) nên \(\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BD + DE}}{{BC}}\)
\(\Rightarrow B{D^2} + BD.DE = AB.BC\)
\( \Rightarrow B{D^2} = AB.BC - BD.DE\) (1)
* Xét \(\Delta BDC\) và \(\Delta ADE\) có:
\(\widehat {BDC} = \widehat {ADE}\) (hai góc đối đỉnh)
\(\widehat {DBC} = \widehat {DAE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CE\))
\(\Rightarrow \Delta BDC\backsim \Delta ADE\) (g.g)
\(\Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AD}}{{DE}}\)
\(\Rightarrow BD.DE = AD.DC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(B{D^2} = AB.BC - AD.DC\) (điều phải chứng minh).
