Bài 5 trang 26 SGK Hình học 12

Cho hình chóp tam giác \(O.ABC\) có ba cạnh \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc với nhau và \(OA = a, OB = b, OC = c\). Hãy tính đường cao \(OH\) của hình chóp.

Lời giải

Kẻ \(\displaystyle AD\bot BC, OH \bot AD\) ta chứng minh \(\displaystyle OH\) chính là đường cao của hình chóp.

\(\displaystyle \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OA\\BC \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot OH\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BH\\AC \bot OB\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {OBH} \right) \Rightarrow AC \bot OH\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\end{array}\)

Vậy \(\displaystyle OH\) chính là đường cao của hình chóp.

\(\displaystyle BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot \left( {OAD} \right) \Rightarrow BC \bot AD\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC ta có:

\(\displaystyle OD.BC = OB.OC\) nên \(\displaystyle OD ={{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\) . Từ đó suy ra

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OAD ta có: \(\displaystyle AD = \sqrt {{a^2} + {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}\) = \(\displaystyle \sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}\) .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAD ta có: \(\displaystyle OH.AD = OA.OD\) nên

\(\displaystyle OH = {{abc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}:\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}  \) \(\displaystyle = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\).

Chú ý: Ta thấy khi chóp tứ giác là chóp vuông (OA, OB, OC đôi một vuông góc) thì: \(\displaystyle \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\). Từ nay về sau các em sử dụng kết quả này để các bài toán nhanh chóng hơn.


Bài Tập và lời giải

Trả lời câu hỏi 1 Bài 8 trang 78 SGK Toán 7 Tập 2

Đề bài

Em hãy vẽ hình, viết giả thiết, kết luận và chứng minh định lý trên.

Xem lời giải

Trả lời câu hỏi 2 Bài 8 trang 78 SGK Toán 7 Tập 2
Dùng thước và compa, dựng ba đường trung trực của một tam giác (xem mục 3 bài 7). Em có nhận thấy ba đường này cùng đi qua một điểm không?

Xem lời giải

Bài 52 trang 79 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thì tam giác đó là một tam giác cân.

Xem lời giải

Bài 53 trang 80 SGK Toán 7 tập 2
Ba gia đình quyết định đào chung một cái giếng. Phải chọn vị trí của giếng ở  đâu để các khoảng cách từ giếng đến các nhà bằng nhau?

Xem lời giải

Bài 54 trang 80 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Vẽ đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác \(ABC\) trong các trường hợp sau:

a) \(\widehat{A}\), \(\widehat{B}\), \(\widehat{C}\) đều nhọn

b) \(\widehat{A} = {90^0}\)

c) \(\widehat{A} > {90^0}\)

Xem lời giải

Bài 55 trang 80 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho hình \(51\):

Chứng minh ba điểm \(B, C, D\) thẳng hàng

Gợi ý: Chứng minh \(\widehat{ADB}+ \widehat{ADC} = {180^0}\)

Xem lời giải

Bài 56 trang 80 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Sử dụng bài \(55\) để chứng minh rằng: Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền của tam giác đó.

Từ đó hãy tính độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông theo độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông.

Xem lời giải

Bài 57 trang 80 SGK Toán 7 tập 2
Có một chi tiết máy (mà đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy. Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này.

Xem lời giải