Bài 5 trang 26 SGK Hình học 12

Cho hình chóp tam giác \(O.ABC\) có ba cạnh \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc với nhau và \(OA = a, OB = b, OC = c\). Hãy tính đường cao \(OH\) của hình chóp.

Kẻ \(\displaystyle AD\bot BC, OH \bot AD\) ta chứng minh \(\displaystyle OH\) chính là đường cao của hình chóp.

\(\displaystyle \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OA\\BC \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot OH\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BH\\AC \bot OB\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {OBH} \right) \Rightarrow AC \bot OH\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\end{array}\)

Vậy \(\displaystyle OH\) chính là đường cao của hình chóp.

\(\displaystyle BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot \left( {OAD} \right) \Rightarrow BC \bot AD\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC ta có:

\(\displaystyle OD.BC = OB.OC\) nên \(\displaystyle OD ={{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\) . Từ đó suy ra

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OAD ta có: \(\displaystyle AD = \sqrt {{a^2} + {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}\) = \(\displaystyle \sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}\) .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAD ta có: \(\displaystyle OH.AD = OA.OD\) nên

\(\displaystyle OH = {{abc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}:\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}  \) \(\displaystyle = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\).

Chú ý: Ta thấy khi chóp tứ giác là chóp vuông (OA, OB, OC đôi một vuông góc) thì: \(\displaystyle \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\). Từ nay về sau các em sử dụng kết quả này để các bài toán nhanh chóng hơn.