a) Dãy số bị chặn dưới vì \(u_n= 2n^2-1≥ 1\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) và không bị chặn trên vì:
Với số \(M\) dương lớn bất kì, ta có \(2n^2-1 > M \Leftrightarrow n > \sqrt{\dfrac{M+1}{2}}\), tức là luôn tồn tại \( n ≥ \left [ \sqrt{\dfrac{M+1}{2}} \right ] + 1\) để \(2 n^{2}- 1 > M\)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}n \ge 1 \Rightarrow {n^2} \ge 1\\2n \ge 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow n\left( {n + 2} \right) = {n^2} + 2n \ge 1 + 2 = 3\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}} \le \dfrac{1}{3} \Rightarrow {u_n} \le \dfrac{1}{3}\,\,\forall n \in N^*.\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
{n^2} \ge 1 \Leftrightarrow 2{n^2} \ge 2 \Leftrightarrow 2{n^2} - 1 \ge 1 > 0\\
\Rightarrow 0 < \dfrac{1}{{2{n^2} - 1}} \le 1\,\,\,\forall n \in N^*
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\sin n + \cos n = \sqrt 2 \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} \right) \\= \sqrt 2 \sin \left( {n + \dfrac{\pi }{4}} \right)\\ \Rightarrow - \sqrt 2 \le \sin n + \cos n \le \sqrt 2 \,\,\forall n \in {N^*}\end{array}\)
