Bài 50 trang 60 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:

a) \({\left( {4x - 5} \right)^2} - 6\left( {4x - 5} \right) + 8 = 0\)

b) \({\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)\) \( - 8 = 0\)

c) \({\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 10{x^2} \) \(+ 5x - 16 = 0\)

d) \(\left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\)

e) \(\displaystyle {{2{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0\)

f) \(x - \sqrt {x - 1}  - 3 = 0\)

a) \(\displaystyle {\left( {4x - 5} \right)^2} - 6\left( {4x - 5} \right) + 8 = 0\) đặt \(\displaystyle 4x - 5 = t,\) ta có phương trình:

\(\displaystyle \eqalign{
& {t^2} - 6t + 8 = 0 \cr 
& \Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 1 = 1 \cr 
& \displaystyle {t_1} = {{3 + 1} \over 1} = 4 \cr 
& \displaystyle {t_2} = {{3 - 1} \over 1} = 2 \cr} \)

Suy ra:

\(\displaystyle \left[ {\matrix{
{4x - 5 = 4} \cr 
{4x - 5 = 2} \cr
} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{4x = 9} \cr 
{4x = 7} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = \displaystyle {9 \over 4}} \cr 
{x = \displaystyle {7 \over 4}} \cr} } \right.} \right.} \right.\)

Phương trình có 2 nghiệm: \(\displaystyle {x_1} = {9 \over 4};{x_2} = {7 \over 4}\)

b) \(\displaystyle {\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x - 1} \right) - 8 = 0\) đặt \(\displaystyle {x^2} + 3x - 1 = t\)

Ta có phương trình: \(\displaystyle {t^2} + 2t - 8 = 0\)

\(\displaystyle \eqalign{
& \Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 8} \right) = 1 + 8 = 9 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3 \cr 
& {t_1} = {{ - 1 + 3} \over 1} = 2 \cr 
& {t_2} = {{ - 1 - 3} \over 1} = - 4 \cr} \)

Với \(\displaystyle t_1 = 2\) ta có: \(\displaystyle {x^2} + 3x - 1 = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 3 = 0\)

\(\displaystyle \eqalign{
& \Delta = 9 - 4.1.\left( { - 3} \right) = 9 + 12 = 21 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt {21} \cr 
& {x_1} = {{ - 3 + \sqrt {21} } \over 1} = - 3 + \sqrt {21} \cr 
& {x_2} = {{ - 3 - \sqrt {21} } \over 1} = - 3 - \sqrt {21} \cr} \)

Với \(\displaystyle t_2 = -4\) ta có: \(\displaystyle {x^2} + 3x - 1 =  - 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 3 = 0\)

\(\displaystyle \Delta  = {3^2} - 4.1.3 = 9 - 12 =  - 3 < 0\)

Phương trình \(\displaystyle {x^2} + 3x + 3 = 0\) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \(\displaystyle {x_1} =  - 3 + \sqrt {21} ;{x_2} =  - 3 - \sqrt {21} \)

c)

\(\displaystyle \eqalign{
& {\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 10{x^2} + 5x - 16 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 5\left( {2{x^2} + x - 2} \right) - 6 = 0 \cr} \)

Đặt \(\displaystyle 2{x^2} + x - 2 = t\)

Ta có phương trình: \(\displaystyle {t^2} + 5t - 6 = 0\) có dạng:

\(\displaystyle \eqalign{
& a + b + c = 0;1 + 5 + \left( { - 6} \right) = 0 \cr 
& {t_1} = 1;{t_2} = - 6 \cr} \)

Với \(\displaystyle t_1 = 1\) ta có: \(\displaystyle 2{x^2} + x - 2 = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 3 = 0\) có dạng: \(\displaystyle a + b + c = 0\)

\(\displaystyle 2 + 1 + \left( { - 3} \right) = 0 \Rightarrow {x_1} = 1;{x_2} =  - {3 \over 2}\)

Với \(\displaystyle t_2 = -6\) ta có: \(\displaystyle 2{x^2} + x - 2 =  - 6 \Leftrightarrow 2{x^2} + x + 4 = 0\)

\(\displaystyle \Delta  = {1^2} - 4.2.4 = 1 - 32 =  - 31 < 0\)

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm: \(\displaystyle {x_1} = 1;{x_2} =  - {3 \over 2}\) 

d)

\(\displaystyle \left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3 \)
\( \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) + 2} \right]\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \)\(= 3 \) 
\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^2} + 2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \)\(- 3 = 0  \)

Đặt \(\displaystyle {x^2} - 3x + 2 = t\)

Ta có phương trình: \(\displaystyle {t^2} + 2t - 3 = 0\) có dạng:

\(\displaystyle \eqalign{
& a + b + c = 0;1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0 \cr 
& {t_1} = 1;{t_2} = {{ - 3} \over 1} = - 3 \cr} \)

Với \(\displaystyle t_1 = 1\) ta có: \(\displaystyle {x^2} - 3x + 2 = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\)

\(\displaystyle \eqalign{
& \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.1 = 9 - 4 = 5 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt 5 \cr 
& {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \cr 
& {x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2} \cr} \)

Với \(\displaystyle t_2 = -3\) ta có: \(\displaystyle {x^2} - 3x + 2 =  - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 5 = 0\)

\(\displaystyle \Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.5 = 9 - 20 =  - 11 < 0\)

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm: \(\displaystyle {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\)

e)

\(\displaystyle \eqalign{
& {{2{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2{\left( {{x \over {x + 1}}} \right)^2} - 5\left( {{x \over {x + 1}}} \right) + 3 = 0 \cr} \)

Đặt \(\displaystyle {x \over {x + 1}} = t,\) ta có phương trình: \(\displaystyle 2{t^2} - 5t + 3 = 0\)

\(\displaystyle 2{t^2} - 5t + 3 = 0\) có dạng: \(\displaystyle a + b + c = 0;2 + \left( { - 5} \right) + 3 = 0\)

\(\displaystyle {t_1} = 1;{t_2} = {3 \over 2}\)

Với \(\displaystyle {t_1} = 1\) ta có: \(\displaystyle {x \over {x + 1}} = 1 \Leftrightarrow x = x + 1 \Rightarrow 0x = 1\) vô nghiệm

Với  \(\displaystyle t_2={3 \over 2}\) ta có: \(\displaystyle {x \over {x + 1}} = {3 \over 2} \Leftrightarrow 2x = 3x + 3 \Rightarrow x =  - 3\)

Nhận thấy \(\displaystyle x = -3\) thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: \(\displaystyle x = -3\)

f) \(\displaystyle x - \sqrt {x - 1}  - 3 = 0\) Điều kiện: \(\displaystyle x ≥ 1\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right) - \sqrt {x - 1}  - 2 = 0\) đặt \(\displaystyle \sqrt {x - 1}  = t \Rightarrow t \ge 0\)

Ta có phương trình: \(\displaystyle {t^2} - t - 2 = 0\) có dạng: \(\displaystyle a - b + c = 0\)

\(\displaystyle \eqalign{
& 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 1 + 1 - 2 = 0 \cr 
& {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 2} \over 1} = 2 \cr} \)

\(\displaystyle {t_1} =  - 1 < 0\) loại

Với \(\displaystyle {t_2} = 2\) ta có: \(\displaystyle \sqrt {x - 1}  = 2 \Rightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5\)

Nhận thấy \(\displaystyle x = 5\) thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có 1 nghiệm: \(\displaystyle x = 5\)